Швидкість як похідна

Процедура, яку ми щойно виконали, настільки часто зустрічається в математиці, що для величин ε і х було придумано спеціальне позначення: ε позначається як Δt, а х — як Δs. Величина Δt означає «невеликий додаток до t», причому мається на увазі, що цей додаток можна робити меншим. Значок Δ в жодному разі не означає множення на якусь величину, точно так само як sin Θ не означає sin*Θ. Це просто якийсь додаток до часу, причому значок Δ нагадує нам про його особливий характер. Ну, а якщо Δ не множник, то його не можна скоротити у відношенні Δs/Δt. Це все одно, що у виразі sinΘ/sin2Θ скоротити всі букви й отримати 1/2. У цих нових позначеннях швидкість дорівнює границі відношення Δs/Δt при Δt, що прямує до нуля, тобто

Це по суті формула (8.3), але тепер ясніше видно, що тут усе змінюється, а, крім того, вона нагадує, які саме величини змінюються. Існує ще один закон, який виконується з хорошою точністю. Він говорить: зміна відстані дорівнює швидкості, помноженій на інтервал часу, за який ця зміна відбулася, тобто Δs = vΔt. Це правило строго справедливе тільки тоді, коли швидкість не змінюється протягом інтервалу Δt, а це, взагалі кажучи, відбувається, тільки коли Δt достатньо мале. У таких випадках зазвичай пишуть ds =vdt, де під dt мають на увазі інтервал часу Δt за умови, що він як завгодно малий. Якщо інтервал Δt достатньо великий, то швидкість за цей час може змінитися, і вираз Δs = vΔt буде вже наближеним. Однак якщо ми пишемо dt, то при цьому мається на увазі, що інтервал часу необмежено малий, і в цьому сенсі вираз ds=vdt точний. У нових позначеннях вираз (8.5) має вигляд

Величина ds/dt називається «похідною s за t» (така назва нагадує про те, що змінюється), а складний процес знаходження похідної називається, крім того, диференціюванням. Якщо ж ds і dt з'являються окремо, а не у вигляді відношення ds/dt, то вони носять назву диференціалів. Щоб краще познайомити вас із новою термінологією, скажу ще, що в попередньому параграфі ми знайшли похідну від функції 5t², або просто похідну від 5t². Вона виявилася рівною 10t. Коли ви більше звикнете до нових слів, вам стане більш зрозумілою сама думка. Для тренування давайте знайдемо похідну складнішої функції. Розгляньмо вираз s=At³ + Bt + C, який може описувати рух точки. Букви А, В, С, так само як і в звичайному квадратному рівнянні, позначають постійні числа. Нам потрібно знайти швидкість руху, що описується цією формулою в будь-який момент часу t. Розгляньмо для цього момент t + Δt, причому до s додасться деяка добавка Δs, і знайдемо, як виражається Δs через Δt. Оскільки
s + Δs = A (t + Δt)³ + В (t + Δt) +C = At³ +Bt + C + 3At²Δt + BΔt + 3At (Δt)² + A (Δt)³,
а   s = At³ + Bt + C,
то   Δs = 3At²Δt+BΔt + 3At(Δt)² + A(Δt)³.
Але нам потрібна не сама величина Δs, а відношення Δs/Δt. Після ділення на Δt отримаємо вираз
Δs/Δt = 3At² + B + 3At(Δt) + A(Δt)³,
який після прямування Δt до нуля перетвориться в
ds/dt = 3At² + B.
У цьому полягає процес взяття похідної, або диференціювання функцій. Насправді він трохи легший, ніж це здається на перший погляд. Зауважте, що якщо в розкладах, подібних до попередніх, зустрічаються члени, пропорційні (Δt)² або (Δt)³ або ще вищим степеням, то їх можна одразу викреслити, оскільки вони все одно перетворяться на нуль, коли в кінці ми будемо Δt спрямовувати до нуля. Після невеликого тренування ви одразу будете бачити, що потрібно залишати, а що одразу відкидати. Існує багато правил і формул для диференціювання різних видів функцій. Їх можна або запам'ятати, або користуватися спеціальними таблицями. Невеликий список таких правил наведено в табл. 8.3.