Відстань як інтеграл

Обговорімо тепер обернену проблему. Нехай замість таблиці відстаней нам дано таблицю швидкостей у різні моменти часу, починаючи з нуля. 

У табл. 8.4 наведено залежність швидкості кульки, що падає, від часу. Аналогічну таблицю можна скласти й для машини, якщо записувати показання спідометра через кожну хвилину або півхвилини. Але чи можна, знаючи швидкість машини в будь-який момент часу, обчислити відстань, яку нею було пройдено? Це завдання обернене до того, яке ми щойно розглянули. Як же розв'язати його, якщо швидкість машини непостійна, якщо вона то прискорюється до 90 км/год, то сповільнюється, потім десь зупиняється біля світлофора і т.д.? Зробити це неважко. Потрібно використати ту саму ідею і виражати повну відстань через нескінченно малі її частини. Нехай у першу секунду швидкість буде vi, тоді за формулою Δs= v₁\Δt можна обчислити відстань, пройдену за цю секунду. У наступну секунду швидкість буде дещо іншою, хоча, можливо, і близькою до початкової, а відстань, пройдена машиною за другу секунду, дорівнюватиме новій швидкості, помноженій на інтервал часу (1 с). Цей процес можна продовжити далі, до самого кінця шляху. У результаті ми отримаємо багато маленьких відрізків, які в сумі дадуть весь шлях. Таким чином, шлях є сумою швидкостей, помножених на окремі інтервали часу, або s — ∑vΔt, де грецька буква ∑ (сигма) означає підсумовування. Точніше, це буде сума швидкостей у деякі моменти часу, скажімо t_i, помножені на Δt:

причому кожен наступний момент t_i+1 знаходиться за правилом t_i+1=t + Δt. Але відстань, отримана цим методом, не буде точною, оскільки швидкість за час Δt все ж змінюється. Вихід із цього становища полягає в тому, щоб брати все менші й менші інтервали Δt, тобто розбивати час руху на все більше число все менших відрізків. Зрештою ми прийдемо до наступного, тепер уже точного виразу для пройденого шляху:

Математики придумали для цієї границі, як і для диференціала, спеціальний символ. Значок Δ перетворюється на d, нагадуючи про те, що інтервал часу як завгодно малий, а
знак підсумовування перетворюється на ∫ - спотворену велику S, першу букву латинського слова «Summa». Цей значок названо інтегралом. Таким чином, ми пишемо

де v(t) — швидкість у момент t. Сама ж операція підсумовування цих членів називається інтегруванням. Вона протилежна операції диференціювання в тому сенсі, що похідна цього інтеграла дорівнює v(t), так що один оператор (d/dt) «знищує» інший ( ∫ ). Це дає можливість отримувати формули для інтегралів шляхом обернення формул для диференціалів: інтеграл від функції, що стоїть у правій колонці табл.8.3, дорівнюватиме функції, що стоїть у лівій колонці. Диференціюючи всі види функцій, ви самі можете скласти таблицю інтегралів. Будь-яка функція, задана в аналітичному вигляді, тобто виражена через комбінацію відомих нам функцій, диференціюється дуже просто — уся операція виконується чисто алгебраїчно, і в результаті ми завжди отримуємо якусь відому функцію. Однак інтеграл не від будь-якої функції можна записати в аналітичному вигляді. Зрозуміло, для кожного окремого інтеграла завжди спочатку намагаються знайти таку функцію, яка, будучи продиференційованою, давала б функцію, що стоїть після знака інтеграла (вона називається підінтегральною). Однак це не завжди вдається зробити. У таких випадках інтеграл обчислюють просто підсумовуванням, тобто обчислюють суми типу (8.6) з усе меншими й меншими інтервалами, поки не отримають результат з достатньою точністю.