Хоча ми приблизно уявляємо собі, що таке «швидкість», однак тут є одна дуже важлива тонкість. Зауважте, що давні греки так і не змогли до кінця розібратися в проблемі швидкості. Тонкість, про яку йдеться, дає про себе знати, коли намагаєшся точно визначити, що ж мається на увазі під поняттям «швидкість». Це питання було каменем спотикання для давніх греків, і знадобилося відкриття нової галузі математики, окрім геометрії й алгебри, які були відомі і грекам, і арабам, і вавилонянам. Спробуйте-но за допомогою самої лише алгебри розв'язати таку задачу. Повітряна куля надувається так, що її об'єм збільшується зі швидкістю 100 см3/с. З якою швидкістю збільшується її радіус, коли об'єм кулі досягає 1000 см3? Задачі такого роду були нерозв'язні для давніх греків. Крім того, їх збивали з пантелику численні «парадокси». Ось один з них, придуманий Зеноном, який добре показує, наскільки складною була в той час проблема швидкості руху. «Припустімо,— каже він, — що Ахілл бігає вдесятеро швидше за черепаху. Але тим не менш він ніколи не наздожене її. Справді, нехай на початку змагання черепаха перебувала за 100 метрів попереду Ахілла. Тоді на той час, коли Ахілл пробіжить ці 100 метрів, черепаха опиниться за 10 метрів попереду нього. Пробігши й ці 10 метрів, Ахілл побачить черепаху за 1 метр попереду себе. За той час, поки він пробіжить цей метр, черепаха пройде 10 сантиметрів і так далі ... до нескінченності. Отже, у будь-який момент черепаха буде попереду Ахілла, і він ніколи не зможе наздогнати її». У чому тут помилка? Кінцевий інтервал часу можна розділити на нескінченне число частин точно так само, як і кінцевий відрізок довжини, якщо послідовно ділити його навпіл. Але нескінченне число етапів до того місця, де Ахілл порівняється з черепахою, зовсім не означає нескінченну кількість часу. Цей приклад добре показує, з якими труднощами доводилося стикатися в проблемі визначення швидкості.
Щоб ще ясніше уявити собі ці труднощі, згадаймо стародавній жарт, який ви напевно чули. Ви пам'ятаєте, що автомобіль, про який ми говорили на початку цієї лекції, був зупинений поліцейським. Він підходить до машини і каже: «Мадам (бо за кермом була жінка), Ви порушили правила вуличного руху. Ви їхали зі швидкістю 90 кілометрів за годину». Жінка відповідає: «Пробачте, це неможливо. Як я могла робити 90 кілометрів за годину, якщо я їду всього лише 7 хвилин!» Як би ви відповіли на місці поліцейського? Звісно, якщо ви справді справжній поліцейський, то такими хитрощами вас не заплутаєш. Ви б твердо сказали: «Мадам, виправдовуватися будете перед суддею!» Але припустімо, що у вас немає такого виходу. Ви хочете чесно довести порушниці її провину і намагаєтеся пояснити їй, що означає швидкість 90 км/год. Як це зробити? Ви скажете: «Я мав на увазі, мадам, що якби ви продовжували їхати так само, то за годину ви проїхали б 90 кілометрів». «Так, але ж я загальмувала і зупинила машину,— може відповісти вона,— тож тепер-то я вже ніяк не могла б проїхати 90 кілометрів за годину».
Аналогічна проблема виникає і у випадку кульки, що падає. Припустімо, що ми хочемо визначити її швидкість через 3 с, якби вона рухалася так само. Але що означає «рухалася так само»? Зберігала б прискорення, рухалася б швидше, чи що? Звісно, ні! Зберігала б ту саму швидкість. Але ж це якраз те, що ми намагаємося визначити! Якби кулька продовжувала рухатися «так само», то вона падала б так само, як падає. Тож потрібно придумати щось краще для визначення швидкості. Що ж усе-таки повинно зберігатися? Порушниця могла б вам ще відповісти і так: «Якби я продовжувала їхати, як їхала, ще годину, то врізалася б у стіну в кінці вулиці!» Загалом, як бачите, поліцейський опинився б у дуже скрутному становищі, намагаючись пояснити, що він мав на увазі.
Багато фізиків думають, що єдиним визначенням будь-якого поняття є спосіб його вимірювання. Але тоді при поясненні ви повинні були б вдатися до приладу, що вимірює швидкість. «Дивіться,— скажете ви в цьому випадку, — ваш спідометр показує 60». «Мій спідометр зламаний і давно не працює»,— відповість вона. Але чи достатньо цього, щоб повірити, що машина не рухалася? Ми вважаємо, що якось потрібно було б визначати швидкість і без допомоги спідометра. Тільки за цих умов можна сказати, що спідометр не працює, що він зламаний. Це було б абсурдним, якби швидкість не мала сенсу без спідометра. Очевидно, що поняття «швидкість» не залежить від спідометра. Спідометр потрібен лише для того, щоб її вимірювати. Погляньмо, чи не можна придумати краще визначення поняття «швидкість». Ви скажете: «Звісно, мадам, якби ви їхали так само протягом години, то врізалися б у стіну, але за 1 секунду ви проїхали б 25 метрів, тож ви робили 25 метрів за секунду, і якби продовжували їхати так само, то в наступну секунду знову проїхали б 25 метрів, а стіна стоїть набагато далі». «Але правила забороняють робити 90 кілометрів за годину, а не 25 метрів за секунду». «Та це ж те саме, що й 90 кілометрів за годину»,— відповісте ви. А якщо це те саме, то навіщо тоді всі довгі розмови про 25 м/с! Насправді ж кулька, що падає, не може рухатися однаковим чином навіть 1 с, оскільки вона постійно прискорюється, і, отже, потрібно визначити швидкість якось точніше.
Але тепер ми, здається, перебуваємо на правильному шляху, який приводить нас ось до чого. Якби машина продовжувала рухатися так само наступну тисячну частку години, то вона пройшла б тисячну частку 90 км. Іншими словами, немає жодної потреби їхати цілу годину з тією самою швидкістю, достатньо якогось моменту. Це означає, що за якийсь момент часу машина проходить таку саму відстань, як і та, що йде з постійною швидкістю 90 км/год. Наші міркування про 25 м/с, можливо, і правильні; ми відзначаємо, скільки машина пройшла в наступну секунду, і якщо виходить відстань 25 м, то це означає, що швидкість досягає 90 км/год.
Іншими словами, можна визначити швидкість так. Визначаємо відстань, яку було пройдено за дуже малий відрізок часу, і, розділивши її на цей відрізок часу, отримуємо швидкість. Однак цей відрізок повинен бути якомога меншим, і чим менший, тим краще, тому що за цей період можуть знову відбутися зміни. Смішно, наприклад, для тіла, що падає, взяти як такий відрізок годину. Взяти як відрізок секунду, можливо, зручно для автомобіля, оскільки за секунду його швидкість змінюється не надто сильно, але цей відрізок великий для тіла, що падає. Таким чином, щоб обчислити швидкість точніше, потрібно брати все менші й менші інтервали часу. Якщо на мільйонну частку секунди ми розділимо відстань, яка була пройдена протягом цього часу, то отримаємо відстань за секунду, тобто якраз те, що ми розуміємо під швидкістю. Саме це потрібно було сказати нашій порушниці, тобто дати те визначення швидкості, яке ми і будемо використовувати.
Таке визначення містить деяку нову ідею, яка була недоступна грекам у її загальній формі.
Вона полягає в тому, щоб малі відстані розділити на відповідні малі відрізки часу і подивитися, що станеться з часткою, якщо відрізок часу брати все менше й менше (іншими словами, брати границю відношення пройденої відстані до інтервалу часу при необмеженому зменшенні останнього). Уперше ця ідея була висловлена незалежно Ньютоном і Лейбніцем і стала основою нової галузі математики — диференціального числення. Воно виникло у зв'язку з описом руху, і першим його застосуванням була відповідь на запитання: "Що означає 90 км/год?"
Спробуймо тепер точніше визначити швидкість. Нехай за деякий малий час ε машина або якесь інше тіло пройшли малу відстань х; тоді швидкість v визначається як
v = x/ε,
причому точність буде тим більшою, чим менше е. Математики записують це так:
тобто швидкість є границею відношення х/ε при ε, що прямує до нуля. Для нашої машини-порушниці неможливо точно обчислити швидкість, оскільки таблиця неповна. Її положення відоме нам тільки через інтервали 1 хв. Приблизно, звісно, можна сказати, що протягом сьомої хвилини, наприклад, вона йшла з середньою швидкістю 90 км/год, однак про її швидкість наприкінці шостої хвилини нічого сказати неможливо. Може, вона прискорювалася і швидкість з 40 км/год на початку шостої хвилини зросла до 90 км/год наприкінці неї, а може, вона рухалася інакше. Ми не знаємо цього точно, оскільки в нас немає детального запису її руху між шостою і сьомою хвилинами. Тільки коли таблиця буде доповнена нескінченним числом даних, з неї можна буде дійсно обчислити швидкість. Якщо, однак, нам відома повна математична формула, як, наприклад, у випадку тіла, що падає [рівняння (8.1)], то можна підрахувати швидкість. Адже за формулою можна знайти положення тіла в будь-який момент часу.
v = x/ε,
причому точність буде тим більшою, чим менше е. Математики записують це так:
тобто швидкість є границею відношення х/ε при ε, що прямує до нуля. Для нашої машини-порушниці неможливо точно обчислити швидкість, оскільки таблиця неповна. Її положення відоме нам тільки через інтервали 1 хв. Приблизно, звісно, можна сказати, що протягом сьомої хвилини, наприклад, вона йшла з середньою швидкістю 90 км/год, однак про її швидкість наприкінці шостої хвилини нічого сказати неможливо. Може, вона прискорювалася і швидкість з 40 км/год на початку шостої хвилини зросла до 90 км/год наприкінці неї, а може, вона рухалася інакше. Ми не знаємо цього точно, оскільки в нас немає детального запису її руху між шостою і сьомою хвилинами. Тільки коли таблиця буде доповнена нескінченним числом даних, з неї можна буде дійсно обчислити швидкість. Якщо, однак, нам відома повна математична формула, як, наприклад, у випадку тіла, що падає [рівняння (8.1)], то можна підрахувати швидкість. Адже за формулою можна знайти положення тіла в будь-який момент часу.
Зображення
Як приклад давайте знайдемо швидкість кульки, що падає, через 5 с після початку падіння. Один спосіб — це подивитися за табл. 8.2, що відбувалося з кулькою на п'ятій секунді. Протягом цієї секунди вона пройшла 45 м, так що, здавалося б, вона падала зі швидкістю 45 м/с. Однак це невірно, оскільки її швидкість весь час змінювалася. Звісно, в середньому протягом цієї секунди вона становила 45 м/с, але насправді кулька прискорювалася і наприкінці п'ятої секунди падала швидше 45 м/с. Наше завдання полягає в тому, щоб визначити швидкість точно. Зробимо це таким чином. Нам відомо, де кулька перебувала через 5 с. За 5 с вона пройшла відстань 125 м. До моменту 5,1 с загальна відстань, яку пройшла кулька, становитиме, згідно з рівнянням (8.1), 130,05 м. Таким чином, за додаткову десяту частку секунди вона проходить 5,05 м. А оскільки 5,05 м за 0,1 с те саме, що й 50,5 м/с, то це й буде її швидкість. Однак це все ще не зовсім точно. Для нас зовсім неважливо, чи буде це швидкість у момент 5 с, чи в момент 5,1 с, чи десь посередині. Наше завдання — обчислити швидкість точно через 5 с, а цього ми поки не зробили. Доведеться покращити точність і взяти тепер на тисячну частку більше 5 с, тобто момент 5,001 с. Повна відстань, пройдена за цей час, становить
s = 5*5,0012 = 5*25,010001 = 125,050005 м.
Отже, за останню тисячну частку секунди кулька проходить 0,050005 м, і якщо розділити це число на 0,001 с, то отримаємо швидкість 50,005 м/с. Це вже дуже близько, але все ж іще не точно. Однак тепер уже зрозуміло, як діяти, щоб знайти швидкість точно. Зручніше розв'язувати цю задачу в дещо більш загальному вигляді. Нехай потрібно знайти швидкість у якийсь момент часу t0 (наприклад, 5 с). Відстань, яка пройдена до моменту t0(назвемо її s0), становитиме 5t20(у нашому випадку 125 м). Щоб визначити відстань, ми ставили питання: де опиниться тіло через час t0 + (невеликий додаток), або t0+ε? Нове положення тіла буде 5(t0+ε)2=5t20 + 10t0ε + 5ε2. (Ця відстань більша за ту відстань, яку кулька пройшла за t0 с, тобто більша за 5t20.) Назвемо цю відстань s0 + (невеликий додаток), або s0 + x. Якщо тепер відняти від неї відстань, пройдену до моменту t0, то отримаємо х — ту додаткову відстань, яку кулька пройшла за додатковий час ε, тобто x=10t0ε+5ε2. Так що в першому наближенні швидкість дорівнюватиме
s = 5*5,0012 = 5*25,010001 = 125,050005 м.
Отже, за останню тисячну частку секунди кулька проходить 0,050005 м, і якщо розділити це число на 0,001 с, то отримаємо швидкість 50,005 м/с. Це вже дуже близько, але все ж іще не точно. Однак тепер уже зрозуміло, як діяти, щоб знайти швидкість точно. Зручніше розв'язувати цю задачу в дещо більш загальному вигляді. Нехай потрібно знайти швидкість у якийсь момент часу t0 (наприклад, 5 с). Відстань, яка пройдена до моменту t0(назвемо її s0), становитиме 5t20(у нашому випадку 125 м). Щоб визначити відстань, ми ставили питання: де опиниться тіло через час t0 + (невеликий додаток), або t0+ε? Нове положення тіла буде 5(t0+ε)2=5t20 + 10t0ε + 5ε2. (Ця відстань більша за ту відстань, яку кулька пройшла за t0 с, тобто більша за 5t20.) Назвемо цю відстань s0 + (невеликий додаток), або s0 + x. Якщо тепер відняти від неї відстань, пройдену до моменту t0, то отримаємо х — ту додаткову відстань, яку кулька пройшла за додатковий час ε, тобто x=10t0ε+5ε2. Так що в першому наближенні швидкість дорівнюватиме
Зображення
Тепер ми вже знаємо, що потрібно робити, щоб отримати швидкість точно в момент t0: потрібно брати відрізок е все менше і менше, тобто прямувати ним до нуля. Таким шляхом з рівняння (8.4) отримаємо
v (у момент t0) = 10t0. У нашій задачі t0 = 5 с, отже, швидкість дорівнює у =10*5=50 м/с. Це і є потрібна відповідь. Раніше, коли е бралося рівним 0,1 і0,001 с, виходила дещо більша величина, ніж 50 м/с, але тепер ми бачимо, що насправді вона в точності дорівнює 50 м/с.
v (у момент t0) = 10t0. У нашій задачі t0 = 5 с, отже, швидкість дорівнює у =10*5=50 м/с. Це і є потрібна відповідь. Раніше, коли е бралося рівним 0,1 і0,001 с, виходила дещо більша величина, ніж 50 м/с, але тепер ми бачимо, що насправді вона в точності дорівнює 50 м/с.