Наступний крок на шляху до рівнянь руху — це введення величини, яка пов'язана зі зміною швидкості руху. Природно запитати: а як змінюється швидкість руху? У попередніх розділах ми розглядали випадок, коли діюча сила приводила до зміни швидкості. Бувають легкові машини, які набирають з місця за 10 с швидкість 90 км/год. Знаючи це, ми можемо визначити, як змінюється швидкість, але тільки в середньому. Займемося наступним, складнішим питанням: як дізнатися темп зміни швидкості. Іншими словами, на скільки метрів за секунду змінюється швидкість за 1 с. Ми вже встановили, що швидкість тіла, яке падає, змінюється з часом за формулою v=9,8t (див. табл. 8.4), а тепер хочемо з'ясувати, наскільки вона змінюється за 1 с. Ця величина називається прискоренням.
Таким чином, прискорення визначається як темп зміни швидкості. Усім сказаним раніше ми вже достатньо підготовлені до того, щоб одразу записати прискорення у вигляді похідної від швидкості, точно так само як швидкість записується у вигляді похідної від відстані. Якщо тепер продиференціювати формулу v=9,8 t, то отримаємо прискорення тіла, що падає
Зображення
(При диференціюванні цього виразу використовувався результат, отриманий нами раніше. Ми бачили, що похідна від Bt дорівнює просто В (постійній). Якщо ж вибрати цю постійну рівною 9,8, то одразу знаходимо, що похідна від 9,8 t дорівнює 9,8.) Це означає, що швидкість тіла, яке падає, постійно зростає на 9,8 м/с за кожну секунду. Цей же результат можна отримати і з табл. 8.4. Як бачите, у випадку тіла, що падає, все виходить досить просто, але прискорення, взагалі кажучи, непостійне. Воно вийшло постійним тільки тому, що постійна сила, яка діє на тіло, що падає, а за законом Ньютона прискорення повинно бути пропорційним силі.
Як наступний приклад знайдемо прискорення в тій задачі, з якою ми вже мали справу при вивченні швидкості:
s = At3 + Bt + C.
Для швидкості v = ds/dt ми отримали формулу
v = 3At2 + B.
Оскільки прискорення — це похідна швидкості за часом, то для того, щоб знайти його значення, потрібно продиференціювати цю формулу. Згадаємо тепер одне з правил табл. 8.3, а саме що похідна суми дорівнює сумі похідних. Щоб продиференціювати перший із цих членів, ми не будемо проробляти всю довгу процедуру, яку робили раніше, а просто нагадаємо, що такий квадратичний член зустрічався нам при диференціюванні функції 5t2, причому в результаті коефіцієнт подвоювався, a t2 перетворювалося на t. Ви можете самі переконатися в тому, що те саме станеться і зараз. Таким чином, похідна від 3At2 дорівнюватиме 6At. Перейдемо тепер до диференціювання другого доданка. За одним із правил табл. 8.3 похідна від постійної дорівнює нулю, отже, цей член не дасть у прискорення жодного внеску. Остаточний результат: a=dv/dt = 6At. Виведемо ще дві корисні формули, які отримуються інтегруванням. Якщо тіло зі стану спокою рухається з постійним прискоренням g, то його швидкість v у будь-який момент часу t дорівнюватиме
v = gt,
а відстань, пройдена ним до цього моменту часу,
s = 1/2 * gt2.
Зауважимо ще, що оскільки швидкість — це ds/dt, а прискорення — похідна швидкості за часом, то можна написати
s = At3 + Bt + C.
Для швидкості v = ds/dt ми отримали формулу
v = 3At2 + B.
Оскільки прискорення — це похідна швидкості за часом, то для того, щоб знайти його значення, потрібно продиференціювати цю формулу. Згадаємо тепер одне з правил табл. 8.3, а саме що похідна суми дорівнює сумі похідних. Щоб продиференціювати перший із цих членів, ми не будемо проробляти всю довгу процедуру, яку робили раніше, а просто нагадаємо, що такий квадратичний член зустрічався нам при диференціюванні функції 5t2, причому в результаті коефіцієнт подвоювався, a t2 перетворювалося на t. Ви можете самі переконатися в тому, що те саме станеться і зараз. Таким чином, похідна від 3At2 дорівнюватиме 6At. Перейдемо тепер до диференціювання другого доданка. За одним із правил табл. 8.3 похідна від постійної дорівнює нулю, отже, цей член не дасть у прискорення жодного внеску. Остаточний результат: a=dv/dt = 6At. Виведемо ще дві корисні формули, які отримуються інтегруванням. Якщо тіло зі стану спокою рухається з постійним прискоренням g, то його швидкість v у будь-який момент часу t дорівнюватиме
v = gt,
а відстань, пройдена ним до цього моменту часу,
s = 1/2 * gt2.
Зауважимо ще, що оскільки швидкість — це ds/dt, а прискорення — похідна швидкості за часом, то можна написати
Зображення
Отже, тепер ми знаємо, як записується друга похідна.
Існує, звісно, і обернений зв'язок між прискоренням і відстанню, який просто випливає з того, що a=dv/dt. Оскільки відстань є інтегралом від швидкості, то вона може бути знайдена подвійним інтегруванням прискорення.
Увесь попередній розгляд був присвячений руху в одному вимірі, а тепер ми коротко зупинимося на русі в просторі трьох вимірів. Розгляньмо рух частинки Р у тривимірному просторі. Цей розділ почався з обговорення одновимірного руху легкової машини, а саме з питання, на якій відстані від початку руху перебуває машина в різні моменти часу. Потім ми обговорювали зв'язок між швидкістю і зміною відстані з часом і зв'язок між прискоренням і зміною швидкості. Розберімо в тій самій послідовності рух у трьох вимірах. Простіше, однак, почати з наочнішого двовимірного випадку, а вже потім узагальнити його на випадок трьох вимірів. Намалюємо дві лінії, що перетинаються під прямим кутом (осі координат), і будемо задавати положення частинки в будь-який момент часу відстанями від неї до кожної з осей. Таким чином, положення частинки задається двома числами (координатами) х і у, кожне з яких є відповідно відстанню до осі у і до осі х (фіг. 8.3). Тепер ми можемо описати рух, складаючи, наприклад, таблицю, в якій ці дві координати задані як функції часу. (Узагальнення на тривимірний випадок вимагає введення ще однієї осі, перпендикулярної до двох перших, і вимірювання ще однієї координати z. Однак тепер відстані беруться не до осей, а до координатних площин.) Як визначити швидкість частинки? Для цього ми спочатку знайдемо складові швидкості за кожним напрямком, або її компоненти. Горизонтальна складова швидкості, або x-компонента, дорівнюватиме похідній за часом від координати х, тобто
Зображення
а вертикальна складова, або y-компонента, дорівнює
Зображення
У випадку трьох вимірів потрібно ще додати
Зображення
Як, знаючи компоненти швидкості, визначити повну швидкість у напрямку руху? Розгляньмо у двовимірному випадку два послідовних положення частинки, розділених коротким інтервалом часу Δt= t2—t1 і відстанню Δs. З фіг. 8.3 видно, що
Зображення
(Значок ≈ відповідає виразу «приблизно дорівнює».) Середня швидкість протягом інтервалу Δt виходить простим діленням: Δs/Δt- Щоб знайти точну швидкість у момент t, потрібно, як це вже робилося на початку розділу, спрямувати Δt до нуля. У результаті виявляється, що
Зображення
У тривимірному випадку точно так само можна отримати
Зображення
Прискорення ми визначаємо так само, як і швидкості: x-компонента прискорення аx визначається як похідна від x-компоненти швидкості vx (тобто ax—d2x/dt2 — друга похідна за часом) і т. д.
Розгляньмо ще один цікавий приклад змішаного руху на площині. Нехай кулька рухається в горизонтальному напрямку з постійною швидкістю и і водночас падає вертикально вниз з постійним прискоренням g. Що це за рух? Оскільки vx = dx/dt = u і, отже, швидкість vx постійна, то
Зображення
а оскільки прискорення руху вниз постійне і дорівнює —g, то координата у кульки, що падає, задається формулою
Зображення
Яку ж криву описує наша кулька, тобто який зв'язок між координатами х і у? З рівняння (8.18), згідно з (8.17), можна виключити час, оскільки t = x/u, після чого знаходимо
Зображення
Цей зв'язок між координатами х і у можна розглядати як рівняння траєкторії руху кульки. Якщо зобразити його графічно, то отримаємо криву, яка називається параболою (фіг. 8.4). Так що будь-яке вільно падаюче тіло, будучи кинутим у якомусь напрямку, рухається по параболі.