Закон збереження імпульсу

Давайте подивимося, чим цікавий Третій закон Ньютона. Припустімо для простоти, що є лише дві взаємодійні частинки — частинка 1 і частинка 2, маси яких можуть бути різними. До якого наслідку призводить рівність і протилежна спрямованість сил між ними? Згідно з Другим законом, сила дорівнює швидкості зміни імпульсу з часом, тож швидкість зміни імпульсу частинки 1 дорівнює швидкості зміни імпульсу частинки 2, тобто

Але якщо швидкості зміни весь час рівні за величиною і протилежні за напрямком, то й повна зміна імпульсу частинки 1 дорівнює й протилежна повній зміні імпульсу частинки 2. Це означає, що якщо ми додамо ці імпульси, то швидкість зміни суми під дією лише взаємних сил (їх зазвичай називають внутрішніми силами) дорівнюватиме нулю, тобто Нагадаємо ще раз, що в нашій задачі ми припускаємо відсутність будь-яких інших сил, крім внутрішніх. Але рівність нулю швидкості зміни цієї суми означає просто, що величина (p₁ + p₂) не змінюється з плином часу. (Ця величина записується також у вигляді m₁v₁+ m₂v₂ і називається повним імпульсом двох частинок.) Таким чином, ми отримали, що за наявності лише внутрішніх сил повний імпульс двох частинок залишається незмінним. Це твердження виражає закон збереження повного імпульсу в цьому випадку. З нього випливає, що якщо ми вимірюємо або підраховуємо величину m₁v₁+ m₂v₂, тобто суму імпульсів двох частинок, то для будь-яких сил, що діють між ними, хоч би якими складними вони були, ми маємо отримати однаковий результат як до дії сил, так і після, тобто повний імпульс залишається сталим. Розгляньмо тепер картину складнішу, коли є три чи більше взаємодійних частинок. Очевидно, що якщо існують лише внутрішні сили, то повний імпульс усіх частинок залишається сталим, оскільки збільшення імпульсу однієї частинки під дією іншої частинки точно компенсується зменшенням імпульсу цієї другої частинки через протидію першої, тобто внутрішні сили так збалансовані, що повний імпульс усіх частинок змінитися не може. Таким чином, якщо немає сил, що діють на систему ззовні (зовнішніх сил), то ніщо не може змінити її повний імпульс, і, отже, він залишається сталим. Але потрібно ще сказати про те, що станеться, якщо існуватимуть ще якісь інші сили, крім сил взаємодії між частинками. Припустімо, що ми ізолювали систему взаємодійних частинок. Якщо є лише взаємні сили, повний імпульс, як і раніше, змінюватися не буде, хоч би якими складними були ці сили. Якщо, однак, існують сили, зумовлені частинками поза цією ізольованою групою, то, як ми доведемо пізніше, сума всіх цих зовнішніх сил дорівнює швидкості зміни повного імпульсу всіх внутрішніх частинок. Це дуже корисна теорема. Закон збереження повного імпульсу певного числа взаємодійних частинок за відсутності зовнішніх сил можна записати у вигляді

де m_i і v_i — просто маса і швидкість частинки відповідного номера. Однак для кожної з цих частинок Другий закон Ньютона

записується для будь-якої складової повної сили та імпульсу в будь-якому заданому напрямку, тож x-компонента сили, що діє на частинку, дорівнює швидкості зміни x-компоненти імпульсу цієї частинки

Точно такі самі формули можна написати для у- і z-компонент. Це означає, що рівняння (10.3) фактично являє собою три рівняння: по одному на кожну з компонент. Існує ще один цікавий наслідок Другого закону Ньютона, крім закону збереження імпульсу. Доведенням його ми займемося пізніше, а зараз я просто розповім вам про нього. Наслідок, або, точніше, принцип полягає в тому, що закони фізики не змінюються від того, стоїмо ми на місці чи рухаємося рівномірно й прямолінійно. Нехай, наприклад, у літаку, що швидко летить, дитина грається з м'ячиком. Спостережлива дитина одразу помітить, що м'ячик стрибає точнісінько так само, як і на землі. Інакше кажучи, закони руху для дитини в літаку (якщо тільки останній не змінює швидкості) виглядають однаково як на льотному полі, так і в польоті. Цей факт відомий під назвою принципу відносності. У тому вигляді, в якому він розглядається тут, ми називатимемо його «принципом відносності Галілея» або «галілеєвою відносністю», щоб не плутати його з ретельнішим аналізом, проведеним Ейнштейном, але про це трохи пізніше. Таким чином, із закону Ньютона ми вивели закон збереження імпульсу, а тепер давайте подивимося, які специфічні закони описують зіткнення і розсіяння частинок. Однак для різноманітності, а також щоб продемонструвати типові міркування, якими ми часто користуємося у фізиці в інших випадках, коли, скажімо, закони Ньютона не відомі і має бути прийнятий інший метод розгляду, давайте обговоримо закони розсіяння і зіткнення з зовсім іншого погляду. Ми виходитимемо з принципу відносності Галілея і наприкінці міркувань прийдемо до закону збереження імпульсу. Отже, почнемо з твердження, що закони природи не змінюються від того, рухаємося ми прямолінійно з якоюсь швидкістю чи стоїмо на місці. Однак перш ніж обговорювати процеси, в яких два тіла стикаються і злипаються або розлітаються в боки, розгляньмо випадок, коли ці два тіла зв'язані між собою пружинкою чи чимось подібним, а потім раптом звільняються і розлітаються під дією цієї пружинки або, можливо, невеликого вибуху в різні боки. Крім того, розглянемо рух лише в одному напрямку. Припустімо спершу, що ці два тіла цілком однакові й розташовані симетрично. Коли між ними станеться вибух, одне з них полетить праворуч з якоюсь швидкістю v. Тоді природно, що інше полетить ліворуч з тією самою швидкістю v, оскільки обидва тіла подібні і немає жодних причин вважати, що ліва сторона виявиться кращою за праву. Отже, з тілами має відбуватися щось симетричне. Цей приклад показує, наскільки корисні міркування такого роду в різних задачах. Але вони не завжди такі ясні, коли затуманені формулами. Таким чином, перший результат нашого експерименту — однакові тіла мають однакову швидкість. Але припустімо тепер, що тіла зроблені з різного матеріалу, скажімо одне з міді, а інше з алюмінію, але маси їх рівні. Ми припускатимемо, що якщо провести наш дослід із двома рівними масами, то, попри те що тіла не однакові, швидкості їх тим не менш будуть рівними. Тут мені можуть заперечити: «Але ж ви можете зробити і навпаки. Вам не було потреби це припускати. Ви можете визначити маси як рівні, якщо вони в нашому експерименті набувають однакової швидкості». Давайте ж приймемо цю пропозицію і влаштуємо невеликий вибух між шматочком міді і дуже великим куском алюмінію, який настільки важкий, що його ледве можна зрушити з місця, тоді як мідь стрімко відлітає. Це свідчить про те, що алюмінію занадто багато. Зменшимо його кількість і залишимо лише зовсім маленький шматочок. Якщо влаштувати вибух знову, то відлетить уже алюміній, а мідь майже не зрушить. Отже, зараз алюмінію занадто мало. Очевидно, що має існувати якась проміжна кількість, яку можна поступово підбирати, доки швидкості розльоту не стануть рівними. Тепер ми можемо сказати, що раз рівні швидкості цих шматків, то маси їх ми теж вважатимемо рівними (тобто фактично ми перевертаємо зроблене раніше твердження, що рівні маси матимуть однакову швидкість). Найцікавіше тут те, що фізичний закон перетворюється просто на визначення. Але тим не менш якийсь фізичний закон тут усе ж є, і якщо ми приймемо таке визначення рівності мас, то цей закон можна знайти таким чином. Нехай із попереднього експерименту нам відомо, що два шматки речовини А і В (мідь і алюміній) мають рівні маси. Візьмемо тепер третє тіло, скажімо шматок золота, і зрівняємо його масу (точнісінько так само, як це робилося раніше) з масою міді. Якщо тепер у нашому експерименті замінити мідь золотом, то логічно в нас немає жодних підстав стверджувати, що ці маси (алюмінію і золота) рівні. Однак дослід показує, що така рівність має місце. Таким чином, дослідним шляхом ми виявили новий закон: якщо дві маси нарізно рівні третій (тобто в нашому досліді вони розлітаються з рівними швидкостями), то вони рівні між собою. (Цей закон зовсім не випливає з подібного твердження про величини в математиці; там воно просто постулюється.) Бачите, як легко необережно зробити безпідставний висновок. Твердження, що маси рівні, коли рівні швидкості,— це ще не визначення; адже при цьому ми припускаємо справедливість математичних законів рівності, що своєю чергою приводить до передбачення результатів деяких експериментів. Візьмемо ще один приклад. Нехай за певної сили вибуху встановлено, що маса А дорівнює масі В. А що станеться, якщо збільшити силу вибуху? Чи будуть рівні швидкості розльоту в цьому випадку? Логіка тут знову безсила, але дослід каже, що це справді так. Знову ми отримуємо закон, який стверджує: якщо з рівності швидкостей двох тіл робиться висновок про рівність їхніх мас, то ця рівність не залежить від величини швидкості. З цих прикладів видно, що те, що спочатку здавалося просто визначенням, насправді припускає справедливість якихось законів природи. Отже, у подальших міркуваннях ми вважатимемо, що рівні маси розлітаються в протилежні боки з рівними швидкостями, якщо між ними стається вибух. А що станеться, якщо ми обернемо задачу, тобто якщо два однакових тіла, що летять назустріч одне одному з рівними швидкостями, стикаються і злипаються разом? Як вони рухатимуться? Тут знову на допомогу приходять міркування симетрії (тобто що між лівою і правою сторонами немає жодної різниці), з яких випливає, що тіло, яке утворилося, має стояти на місці. Ми також припускатимемо, що два тіла з рівною масою, які летять назустріч одне одному, навіть якщо вони зроблені з різного матеріалу, після зіткнення і злипання зупиняться.