Підемо далі. Розглянемо інший приклад: температура вертушки T1 а температура храповика T2; T2 менша за T1. Оскільки храповик холодний і флуктуації собачки порівняно рідкісні, їй тепер дуже важко роздобути енергію ε. Але через те, що вертушка гаряча, вона часто дістає енергію е, і наш пристрій почне, як і задумано, обертатися в один бік.
Подивімося, чи вдасться нам тепер підіймати вантажі. Прив'яжемо до барабана нитку і причепимо до неї вантажик на кшталт нашої блохи. Нехай L буде момент, створюваний вантажем. Якщо момент L не дуже великий, наша машина вантаж підійме, бо через броунівські флуктуації повороти в один бік імовірніші, ніж в інший. Визначимо, яку вагу ми зможемо підняти, як швидко вона підійматиметься тощо.
Спершу розглянемо рух уперед, для якого храповик і призначений. Скільки енергії потрібно позичити у вертушки, щоб просунутися на крок? Щоб підняти собачку, потрібна енергія ε. Щоб повернути храповик на кут θ проти моменту L, потрібна енергія Lθ. Загалом потрібно позичити енергію ε+Lθ. Імовірність здобути її дорівнює exp[-(ε+Lθ)/kT1]. Насправді річ не тільки в самій цій енергії, а й у тому, скільки разів за секунду вона опиниться в нашому розпорядженні. Імовірність за секунду лише пропорційна exp[-(ε+Lθ)/kT1] позначимо коефіцієнт пропорційності 1/τ (він наприкінці викладок випаде). Після кожного кроку вперед виконана над вантажем робота дорівнює Lθ. Енергія, взята у вертушки, дорівнює ε+Lθ. Енергією е намотується нитка, потім лунає: клац, клац, клінгенкланггеклунгеи..., і енергія переходить у тепло. Уся позичена енергія йде на те, щоб підняти блоху і собачку, яка потім падає й віддає тепло іншій стороні (храповику).
Розглянемо тепер випадок оберненого обертання. Що відбувається тут? Щоб храповик повернувся назад, треба лише забезпечити собачку такою енергією, щоб їй вистачило сил піднятися і пропустити храповик. Ця енергія, як і раніше, дорівнює ε. Імовірність (у перерахунку на секунду) того, що собачка підніметься на потрібну висоту, тепер дорівнює (1/τ)exp(—ε/kТ2). (Множник пропорційності той самий, але в показнику стоїть kТ2, через те, що температура інша.) Коли це трапляється, тобто зубчатка проковзує назад, робота вже вивільняється (вивільнився один зубець, а разом із ним і робота Lθ). Енергія, взята від системи храповик — собачка, дорівнює е, а енергія, передана газу на іншому кінці осі за температури T1 дорівнює Lθ + ε. Це теж легко зрозуміти. Припустимо, що собачка піднялася сама собою за рахунок флуктуації. Коли вона впаде і пружинка вдарить її по зубцю, виникне сила, що прагне повернути зубчатку, адже площина, об яку вдарилася собачка, похила. Ця сила виконує роботу; те саме можна сказати про вагу вантажика. Обидві сили підсумовуються, і вся енергія, що повільно вивільняється, з'являється у вигляді тепла на тому боці, де вертушка. (Звісно, так і має бути за законом збереження енергії, але ми зобов'язані обережно продумати все наскрізь!)
Ми зауважуємо, що всі ці енергії точнісінько ті самі, що й раніше, тільки переставлені. Отже, залежно від того, яке зі співвідношень більше, вантажик або повільно підіймається, або повільно опускається. Звісно, насправді він безперервно ходить туди-сюди, похитується, але ми говоримо про усереднену поведінку.
Припустимо, що за певної ваги ймовірності виявляться рівними. Тоді причепимо до нитки нескінченно легкий вантажик. Весь вантаж повільно піде вниз, і машина виконуватиме роботу, енергія перекачуватиметься від храповика і надсилатиметься вертушці. Якщо ж прибрати частину вантажу, нерівноважність перекинеться на інший бік. Вантаж підіймається, тепло забирається від вертушки і постачається шестерні. Ми потрапляємо в умови оборотного циклу Карно завдяки тому, що вантаж обрано якраз так, щоб обидві ймовірності були рівні. Ця умова така: (ε+Lθ)/T1= ε/T2. Нехай машина повільно тягне вантаж угору.
Подивімося, чи вдасться нам тепер підіймати вантажі. Прив'яжемо до барабана нитку і причепимо до неї вантажик на кшталт нашої блохи. Нехай L буде момент, створюваний вантажем. Якщо момент L не дуже великий, наша машина вантаж підійме, бо через броунівські флуктуації повороти в один бік імовірніші, ніж в інший. Визначимо, яку вагу ми зможемо підняти, як швидко вона підійматиметься тощо.
Спершу розглянемо рух уперед, для якого храповик і призначений. Скільки енергії потрібно позичити у вертушки, щоб просунутися на крок? Щоб підняти собачку, потрібна енергія ε. Щоб повернути храповик на кут θ проти моменту L, потрібна енергія Lθ. Загалом потрібно позичити енергію ε+Lθ. Імовірність здобути її дорівнює exp[-(ε+Lθ)/kT1]. Насправді річ не тільки в самій цій енергії, а й у тому, скільки разів за секунду вона опиниться в нашому розпорядженні. Імовірність за секунду лише пропорційна exp[-(ε+Lθ)/kT1] позначимо коефіцієнт пропорційності 1/τ (він наприкінці викладок випаде). Після кожного кроку вперед виконана над вантажем робота дорівнює Lθ. Енергія, взята у вертушки, дорівнює ε+Lθ. Енергією е намотується нитка, потім лунає: клац, клац, клінгенкланггеклунгеи..., і енергія переходить у тепло. Уся позичена енергія йде на те, щоб підняти блоху і собачку, яка потім падає й віддає тепло іншій стороні (храповику).
Розглянемо тепер випадок оберненого обертання. Що відбувається тут? Щоб храповик повернувся назад, треба лише забезпечити собачку такою енергією, щоб їй вистачило сил піднятися і пропустити храповик. Ця енергія, як і раніше, дорівнює ε. Імовірність (у перерахунку на секунду) того, що собачка підніметься на потрібну висоту, тепер дорівнює (1/τ)exp(—ε/kТ2). (Множник пропорційності той самий, але в показнику стоїть kТ2, через те, що температура інша.) Коли це трапляється, тобто зубчатка проковзує назад, робота вже вивільняється (вивільнився один зубець, а разом із ним і робота Lθ). Енергія, взята від системи храповик — собачка, дорівнює е, а енергія, передана газу на іншому кінці осі за температури T1 дорівнює Lθ + ε. Це теж легко зрозуміти. Припустимо, що собачка піднялася сама собою за рахунок флуктуації. Коли вона впаде і пружинка вдарить її по зубцю, виникне сила, що прагне повернути зубчатку, адже площина, об яку вдарилася собачка, похила. Ця сила виконує роботу; те саме можна сказати про вагу вантажика. Обидві сили підсумовуються, і вся енергія, що повільно вивільняється, з'являється у вигляді тепла на тому боці, де вертушка. (Звісно, так і має бути за законом збереження енергії, але ми зобов'язані обережно продумати все наскрізь!)
Ми зауважуємо, що всі ці енергії точнісінько ті самі, що й раніше, тільки переставлені. Отже, залежно від того, яке зі співвідношень більше, вантажик або повільно підіймається, або повільно опускається. Звісно, насправді він безперервно ходить туди-сюди, похитується, але ми говоримо про усереднену поведінку.
Припустимо, що за певної ваги ймовірності виявляться рівними. Тоді причепимо до нитки нескінченно легкий вантажик. Весь вантаж повільно піде вниз, і машина виконуватиме роботу, енергія перекачуватиметься від храповика і надсилатиметься вертушці. Якщо ж прибрати частину вантажу, нерівноважність перекинеться на інший бік. Вантаж підіймається, тепло забирається від вертушки і постачається шестерні. Ми потрапляємо в умови оборотного циклу Карно завдяки тому, що вантаж обрано якраз так, щоб обидві ймовірності були рівні. Ця умова така: (ε+Lθ)/T1= ε/T2. Нехай машина повільно тягне вантаж угору.
Зображення
Енергія Q1 забирається від лопатей, а енергія Q2 постачається шестерні, і ці енергії перебувають у відношенні (e+L6)/e. Коли ми опускаємо вантаж, то знову Q1/Q2=(ε+Lθ)/ε. Отже (табл. 46.1), маємо
Q1/Q2 = T1/T2
Далі, здобута робота відноситься до енергії, взятої у вертушки, як Lθ до Lθ + ε, тобто як (T1—Т2)/T1. Ми бачимо, що наш пристрій, працюючи оборотно, нізащо не зможе висмоктати роботи більше, ніж дозволяє це відношення. Це той висновок, якого ми й очікували на основі доведення Карно, а водночас і головний результат цієї лекції.
Однак ми можемо використати наш пристрій, щоб зрозуміти ще деякі явища, навіть нерівноважні, що лежать поза межами застосовності термодинаміки.
Підрахуймо тепер, як швидко наш односторонній механізм обертатиметься, якщо всі його частини однаково нагріті, а до барабана підвішено вантажик. Якщо ми потягнемо занадто сильно, можуть статися будь-які неприємності. Собачка зіслизне вздовж храповика, пружинка лопне або ще щось трапиться. Але припустимо, що ми тягнемо так обережно, що все працює гладко. За цих умов правильний наведений вище аналіз імовірностей повороту храповика вперед чи назад, і потрібно лише врахувати рівність температур. З кожним скачком валик повертається на кут θ, так що кутова швидкість дорівнює величині θ, помноженій на ймовірність одного з цих скачків за секунду. Вісь повертається вперед з імовірністю (1/τ)exp[—(ε+Lθ)/kT], а назад вона повертається з імовірністю (1/τ)exp(—ε/kT). Кутова швидкість дорівнює
Q1/Q2 = T1/T2
Далі, здобута робота відноситься до енергії, взятої у вертушки, як Lθ до Lθ + ε, тобто як (T1—Т2)/T1. Ми бачимо, що наш пристрій, працюючи оборотно, нізащо не зможе висмоктати роботи більше, ніж дозволяє це відношення. Це той висновок, якого ми й очікували на основі доведення Карно, а водночас і головний результат цієї лекції.
Однак ми можемо використати наш пристрій, щоб зрозуміти ще деякі явища, навіть нерівноважні, що лежать поза межами застосовності термодинаміки.
Підрахуймо тепер, як швидко наш односторонній механізм обертатиметься, якщо всі його частини однаково нагріті, а до барабана підвішено вантажик. Якщо ми потягнемо занадто сильно, можуть статися будь-які неприємності. Собачка зіслизне вздовж храповика, пружинка лопне або ще щось трапиться. Але припустимо, що ми тягнемо так обережно, що все працює гладко. За цих умов правильний наведений вище аналіз імовірностей повороту храповика вперед чи назад, і потрібно лише врахувати рівність температур. З кожним скачком валик повертається на кут θ, так що кутова швидкість дорівнює величині θ, помноженій на ймовірність одного з цих скачків за секунду. Вісь повертається вперед з імовірністю (1/τ)exp[—(ε+Lθ)/kT], а назад вона повертається з імовірністю (1/τ)exp(—ε/kT). Кутова швидкість дорівнює
Зображення
Графік залежності ω від L показано на фіг. 46.2. Ми бачимо, що коли L додатне, результат один, коли від'ємне — зовсім інший. Якщо L зростає, будучи додатним, що буває, коли ми хочемо повернути храповик назад, швидкість обертання назад близька до сталої величини. А коли L стає від'ємним, ω справді «рветься вперед», бо в e показник степеня величезний! Таким чином, кутова швидкість, викликана дією різних сил, дуже несиметрична. Піти в один бік легко: ми дістаємо велику кутову швидкість від маленької сили. Ідучи в зворотний бік, ми можемо докласти багато зусиль, а вал усе одно рухатиметься ледь-ледь.Таке саме становище виникає в електричному випрямлячі. Замість сили там є електричне поле, а замість кутової швидкості — сила струму. Для випрямляча напруга теж не пропорційна опору, спостерігається та сама несиметричність. Аналіз, проведений нами для механічного випрямляча, годиться і для електричного. Вигляд формули, здобутої вище, типовий для залежності пропускної здатності випрямляча від напруги.
Приберімо тепер усі вантажики і повернімося до первісного механізму. Якби T2 було менше за Т1, храповик крутився б уперед. У це повірить кожен. Але от у що важко повірити відразу, так це в протилежне. Якщо Т2 більше за T1, храповик обертається назад! Динамічний храповик із надлишком теплоти всередині крутиться назад, бо собачка храповика відскакує. Якщо собачка в якийсь момент перебуває на похилій площині, вона штовхає цю площину в бік підйому. Але це відбувається увесь час, адже якщо трапиться, що собачка підніметься достатньо високо, щоб проскочити край зубця, вона опиниться на новій похилій площині. Словом, гарячі храповик із собачкою ідеально пристосовані для обертання в бік, протилежний тому, в який їм первісно було призначено крутитися!
Хоч би як хитромудро ми сконструювали «однобокий» механізм, за рівності температур він не захоче крутитися в один бік частіше, ніж в інший. Коли ми дивимося на нього, він може повертатися то туди, то сюди, але за тривалої роботи йому нікуди не піти. Той факт, що він нікуди не піде, насправді фундаментальний, глибокий принцип; усе в термодинаміці спирається на нього.