У природі існують сили, скажімо сила тяжіння, які мають чудову властивість — «консервативність» (жодних політичних ідей, нічого двозначного в цьому понятті немає). Коли ми підраховуємо, яку роботу виконує сила, рухаючи тіло з однієї точки в іншу, то взагалі робота залежить від траєкторії; але в особливих випадках ця залежність зникає. Якщо робота не залежить від траєкторії, ми кажемо, що сила консервативна. Іншими словами, якщо інтеграл від добутку сили на прирости зміщень між точками 1 і 2 (фіг. 14.2) один раз обчислений вздовж кривої А, а другий — вздовж кривої В, і обидва рази виходить однакова кількість джоулів, і якщо це виконано для будь-якої кривої, що з'єднує цю пару точок, і якщо це ж справедливо для будь-якої пари точок, то кажуть, що сила консервативна. За таких обставин інтеграл роботи між точками 1 і 2 можна легко підрахувати і дати для нього формулу. А в інших випадках це не так просто: треба задавати ще й форму кривої; але коли робота не залежить від кривої, то, ясна річ, залишається тільки залежність від положень точок 1 і 2.
Щоб довести це, розглянемо фіг. 14.2. Зафіксуємо довільну точку Р. Криволінійний інтеграл роботи на ділянці (1,2) можна обчислити, розбивши його на дві частини: роботу на ділянці (1, Р) і роботу на ділянці (Р, 2), тому що зараз у нас всюди консервативні сили, і яким би шляхом не йти, значення роботи те саме. Робота переміщення з точки Р у будь-яку точку простору є функцією положення кінцевої точки. Вона залежить і від Р, але ми в усьому подальшому аналізі точку Р закріпимо, так що робота переміщення тіла від точки Р до точки 2 буде якоюсь функцією положення точки 2. Вона залежить від того, де перебуває точка 2; якщо перемістити тіло в іншу точку, відповідь буде іншою.
Позначимо цю функцію положення через —U(x, у, z); бажаючи зазначити, що йдеться саме про точку 2 з координатами x2, y2, z2, ми будемо просто писати U(2), скорочуючи позначення U(x2, y2, z2). Роботу переміщення з точки 1 в точку Р можна написати, обернувши напрямок інтегрування (змінившизнаки всіх ds). Іншими словами, робота на ділянці (1,Р) дорівнює роботі на ділянці (Р,1) зі знаком мінус:
Зображення
Отже, робота на ділянці (Р,1) є —U(1), а на ділянці (Р,2) є —U(2). Тому інтеграл від 1 до 2 дорівнює —U(2) плюс [-U(1) назад], тобто +U(1) — U(2):
Зображення
Величина U(1) - U(2) називається зміною потенціальної енергії, а U можна назвати потенціальною енергією. Ми будемо говорити, що коли предмет перебуває в положенні 2, то він має потенціальну енергію U(2), а в положенні 1 — потенціальну енергію U(1). Коли він перебуває в положенні Р, його потенціальна енергія дорівнює нулю. Якби замість Р взяти будь-яку іншу точку Q, то виявилося б (це залишається довести вам самим), що потенціальна енергія всіх точок змінилася б лише на сталу добавку. Оскільки збереження енергії залежить тільки від її змін, ця додаткова стала не має жодного значення. Ось чому точка Р довільна.
Отже, у нас є два твердження: 1) робота, яку виконує сила, дорівнює зміні кінетичної енергії системи, але 2) математично для консервативних сил виконана робота дорівнює мінус зміні функції U, яку називають потенціальною енергією. Як наслідок цих тверджень виникає ще одне: якщо діють тільки консервативні сили, сума потенціальної U та кінетичної Т енергій залишається сталою:
Зображення
Розглянемо формулу потенціальної енергії для низки випадків. Якщо поле тяжіння однорідне, якщо ми не піднімаємося до висот, порівнянних з радіусом Землі, то сила стала і спрямована вертикально, а робота дорівнює просто добутку сили на відстань по вертикалі. Отже,
Зображення
і за точку Р з нульовою потенціальною енергією можна прийняти будь-яку точку на поверхні z = 0. Але можна також говорити, що потенціальна енергія дорівнює mg(z—6), якщо нам так уже цього хочеться! Усі результати в нашому аналізі залишаться тими самими, крім того що потенціальна енергія на поверхні z = 0 дорівнюватиме —mg6. Різниці жодної, адже до розрахунку треба брати тільки різниці потенціальних енергій.
Енергія, необхідна для стискання пружини на відстань х від точки рівноваги, дорівнює
Зображення
і нуль потенціальної енергії припадає на точку х = 0, тобто на рівноважний стан пружини. І тут теж ми можемо додати будь-яку константу.
Потенціальна енергія тяжіння точкових мас М і m на відстані r одна від одної дорівнює
Зображення
Константу тут обрано так, щоб потенціал зникав на нескінченності. Звісно, цю саму формулу можна застосувати і до електричних зарядів, оскільки закон той самий:
Зображення
Давайте тепер попрацюємо з однією з цих формул, подивимося, чи зрозуміли ми їхній сенс.
Питання: З якою швидкістю має вирушити ракета із Землі, щоб покинути її?
Відповідь: Сума кінетичної і потенціальної енергій має бути сталою; покинути Землю — означає віддалитися від неї на мільйони кілометрів; якщо в ракети якраз вистачає сил, щоб покинути Землю, то треба припустити, що там, вдалині, її швидкість дорівнюватиме нулю і що на нескінченності вона рухатиметься ледь-ледь. Нехай а — радіус Землі, а М — її маса. Кінетична плюс потенціальна енергії спочатку дорівнювали 1/2 mv2 —GmM/a. Наприкінці руху обидві ці енергії мають зрівнятися. Кінетичну енергію наприкінці руху ми вважаємо нульовою, тому що тіло ледь рухається (майже з нульовою швидкістю), а потенціальна енергія дорівнює величині GmM, поділеній на нескінченність, тобто знову нульова. Отже, з одного боку стоїть різниця двох нулів; тому квадрат швидкості має дорівнювати 2GM/a. Але GM/a2 це якраз те, що називають прискоренням сили тяжіння g. Отже,
v2 = 2ga.
З якою швидкістю має рухатися штучний супутник, щоб не падати на Землю? Ми колись розв'язували цю задачу і отримали v2 = GM/a. Отже, щоб покинути Землю, потрібна швидкість, у √2 більша, ніж швидкість обертання супутника навколо Землі. Іншими словами, щоб полетіти геть від Землі, потрібно вдвічі більше енергії (енергія пропорційна квадрату швидкості), ніж щоб облетіти навколо неї. Тому історично спочатку були здійснені обльоти штучних супутників навколо Землі, для чого знадобилися швидкості близько 7,8 км/с. І тільки потім космічні кораблі були закинуті у світовий простір; для цього знадобилося вже вдвічі більше енергії, тобто швидкості близько 11,2 км/с. Продовжимо тепер наш огляд характеристик потенціальної енергії. Розглянемо взаємодію двох молекул або двох атомів, наприклад двох атомів кисню. Коли вони перебувають далеко одне від одного, вони притягуються із силою, обернено пропорційною сьомому степеню відстані, а при тісному зближенні вони сильно відштовхуються. Проінтегрувавши мінус сьомий степінь відстані, щоб отримати роботу, ми побачимо, що потенціальна енергія U (функція відстані між атомами кисню) змінюється як мінус шостий степінь відстані (на великих відстанях).
Якщо ми креслимо якусь криву потенціальної енергії U(r) (фіг. 14.3), то при великих r вона виглядає як r-6, а при достатньо малих r досягає мінімуму. Мінімум потенціальної енергії в точці r = d означає, що якщо ми зсунемося від неї на малу відстань, на дуже малу відстань, то виконана робота, яка дорівнює зміні потенціальної енергії на цьому проміжку, майже дорівнює нулю, тому що на дні кривої енергія майже не змінюється. Отже, у цій точці сила дорівнює нулю, і це є точка рівноваги. Умову рівноваги можна висловити й інакше: для віддалення від точки рівноваги в будь-який бік потрібно затратити роботу. Коли два атоми кисню розташовані так, що жодної енергії з їхньої сили взаємодії більше вичавити не можна, то вони перебувають у найнижчому енергетичному стані, і проміжок між ними дорівнює d. Так виглядає молекула кисню, коли вона не нагріта. При нагріванні атоми коливаються і розходяться; їх можна й зовсім розвести, але для цього потрібна певна кількість роботи або енергії, що дорівнює різниці потенціальних енергій у точках r = d і r=∞. При спробі зблизити атоми енергія швидко зростає внаслідок їхнього взаємного відштовхування.
Чому ми говоримо про потенціальну енергію? Тому що ідея сили не дуже придатна для квантової механіки, там природніша ідея енергії. Коли ми розглядаємо складніші взаємодії: ядерної речовини, молекул і т. д., то, хоча поняття сили і швидкості «розсмоктуються» і зникають, виявляється, що поняття енергії все ж залишається. Тому в книгах з квантової механіки ми знаходимо криві потенціальної енергії, але дуже рідко побачимо графік сили взаємодії двох молекул, тому що ті, хто вивчає ці явища, вже більше звикли думати про енергію, ніж про силу.
Зазначимо ще, що коли на тіло одночасно діють кілька консервативних сил, потенціальна енергія тіла є сумою потенціальних енергій від кожної сили. Це те, що ми стверджували й раніше, тому що, коли сила подається векторною сумою сил, робота, яку вона виконує, дорівнює сумі робіт, виконуваних окремими силами; тому її можна подати як зміни потенціальних енергій від кожної сили окремо. Отже, загальна потенціальна енергія дорівнює сумі всіх частин.
Ми можемо узагальнити це на випадок системи багатьох тіл, як, наприклад, Юпітера, Сатурна, Урана і т. д. або атомів кисню, азоту, вуглецю і т. д., що взаємодіють одне з одним попарно, причому сили взаємодії кожної пари консервативні. За таких умов кінетична енергія всієї системи є просто сумою кінетичних енергій усіх окремих атомів, або планет, або частинок, а потенціальна енергія системи є сумою потенціальних енергій взаємодії окремих пар, розрахованих у припущенні, що інших частинок немає. (Насправді для молекулярних сил це невірно, і формула виходить дещо складнішою; для ньютонового тяжіння це безумовно справедливо, а для молекулярних сил годиться лише як наближення. Можна, звісно, говорити про потенціальну енергію молекулярних сил, але вона іноді виявляється складнішою функцією положень атомів, ніж проста сума попарних взаємодій.) Тому потенціальна енергія в окремому випадку тяжіння подається сумою по всіх парах i і j членів — Gmimj/rij [як було показано в рівнянні (13.14)]. Рівняння (13.14) виражає математично таке твердження: загальна потенціальна плюс загальна кінетична енергії не змінюються з часом. Нехай собі різні планети обертаються, рухаються по орбітах і похитуються, все одно якщо підрахувати загальну потенціальну і загальну кінетичну енергії, то виявиться, що їхня сума завжди залишається сталою.
v2 = 2ga.
З якою швидкістю має рухатися штучний супутник, щоб не падати на Землю? Ми колись розв'язували цю задачу і отримали v2 = GM/a. Отже, щоб покинути Землю, потрібна швидкість, у √2 більша, ніж швидкість обертання супутника навколо Землі. Іншими словами, щоб полетіти геть від Землі, потрібно вдвічі більше енергії (енергія пропорційна квадрату швидкості), ніж щоб облетіти навколо неї. Тому історично спочатку були здійснені обльоти штучних супутників навколо Землі, для чого знадобилися швидкості близько 7,8 км/с. І тільки потім космічні кораблі були закинуті у світовий простір; для цього знадобилося вже вдвічі більше енергії, тобто швидкості близько 11,2 км/с. Продовжимо тепер наш огляд характеристик потенціальної енергії. Розглянемо взаємодію двох молекул або двох атомів, наприклад двох атомів кисню. Коли вони перебувають далеко одне від одного, вони притягуються із силою, обернено пропорційною сьомому степеню відстані, а при тісному зближенні вони сильно відштовхуються. Проінтегрувавши мінус сьомий степінь відстані, щоб отримати роботу, ми побачимо, що потенціальна енергія U (функція відстані між атомами кисню) змінюється як мінус шостий степінь відстані (на великих відстанях).
Якщо ми креслимо якусь криву потенціальної енергії U(r) (фіг. 14.3), то при великих r вона виглядає як r-6, а при достатньо малих r досягає мінімуму. Мінімум потенціальної енергії в точці r = d означає, що якщо ми зсунемося від неї на малу відстань, на дуже малу відстань, то виконана робота, яка дорівнює зміні потенціальної енергії на цьому проміжку, майже дорівнює нулю, тому що на дні кривої енергія майже не змінюється. Отже, у цій точці сила дорівнює нулю, і це є точка рівноваги. Умову рівноваги можна висловити й інакше: для віддалення від точки рівноваги в будь-який бік потрібно затратити роботу. Коли два атоми кисню розташовані так, що жодної енергії з їхньої сили взаємодії більше вичавити не можна, то вони перебувають у найнижчому енергетичному стані, і проміжок між ними дорівнює d. Так виглядає молекула кисню, коли вона не нагріта. При нагріванні атоми коливаються і розходяться; їх можна й зовсім розвести, але для цього потрібна певна кількість роботи або енергії, що дорівнює різниці потенціальних енергій у точках r = d і r=∞. При спробі зблизити атоми енергія швидко зростає внаслідок їхнього взаємного відштовхування.
Чому ми говоримо про потенціальну енергію? Тому що ідея сили не дуже придатна для квантової механіки, там природніша ідея енергії. Коли ми розглядаємо складніші взаємодії: ядерної речовини, молекул і т. д., то, хоча поняття сили і швидкості «розсмоктуються» і зникають, виявляється, що поняття енергії все ж залишається. Тому в книгах з квантової механіки ми знаходимо криві потенціальної енергії, але дуже рідко побачимо графік сили взаємодії двох молекул, тому що ті, хто вивчає ці явища, вже більше звикли думати про енергію, ніж про силу.
Зазначимо ще, що коли на тіло одночасно діють кілька консервативних сил, потенціальна енергія тіла є сумою потенціальних енергій від кожної сили. Це те, що ми стверджували й раніше, тому що, коли сила подається векторною сумою сил, робота, яку вона виконує, дорівнює сумі робіт, виконуваних окремими силами; тому її можна подати як зміни потенціальних енергій від кожної сили окремо. Отже, загальна потенціальна енергія дорівнює сумі всіх частин.
Ми можемо узагальнити це на випадок системи багатьох тіл, як, наприклад, Юпітера, Сатурна, Урана і т. д. або атомів кисню, азоту, вуглецю і т. д., що взаємодіють одне з одним попарно, причому сили взаємодії кожної пари консервативні. За таких умов кінетична енергія всієї системи є просто сумою кінетичних енергій усіх окремих атомів, або планет, або частинок, а потенціальна енергія системи є сумою потенціальних енергій взаємодії окремих пар, розрахованих у припущенні, що інших частинок немає. (Насправді для молекулярних сил це невірно, і формула виходить дещо складнішою; для ньютонового тяжіння це безумовно справедливо, а для молекулярних сил годиться лише як наближення. Можна, звісно, говорити про потенціальну енергію молекулярних сил, але вона іноді виявляється складнішою функцією положень атомів, ніж проста сума попарних взаємодій.) Тому потенціальна енергія в окремому випадку тяжіння подається сумою по всіх парах i і j членів — Gmimj/rij [як було показано в рівнянні (13.14)]. Рівняння (13.14) виражає математично таке твердження: загальна потенціальна плюс загальна кінетична енергії не змінюються з часом. Нехай собі різні планети обертаються, рухаються по орбітах і похитуються, все одно якщо підрахувати загальну потенціальну і загальну кінетичну енергії, то виявиться, що їхня сума завжди залишається сталою.