Потенціали і поля

Тепер звернемося до деяких ідей, пов'язаних із потенціальною енергією і з поняттям поля. Нехай два великих тіла А і В притягують до себе третє мале тіло із сумарною силою F. Ми вже зазначали в розд. 12, що силу тяжіння, яка діє на частинку, можна подати як добуток її маси mна вектор С, що залежить лише від положення частинки:
F = mС.
Тяжіння можна аналізувати, вважаючи, що в кожному місці простору є вектор С, який «діє» на масу, поміщену в це місце, але який присутній там незалежно від того, помістили ми туди масу чи ні. Вектор С має три складові, і кожна з них є функцією від (х, у, z) — функцією положення в просторі. Таку річ ми називаємо полем і кажемо, що тіла А і В створюють поле, тобто «роблять» вектор С. Коли тіло поміщене в поле, то сила дії на це тіло дорівнює його масі, помноженій на величину вектора поля в тій точці, куди тіло потрапило. З потенціальною енергією можна зробити те саме. Оскільки потенціальна енергія, інтеграл від (Сила)·(ds), може бути записана у вигляді маси m, помноженої на інтеграл від (Поле)·(ds) — це просте зміна масштабу, — то потенціальну енергію U(x, у, z) тіла, розташованого в точці (х, у, z), можна записати як добуток т на іншу функцію. Назвемо її потенціалом Ψ. Інтеграл ∫ C·ds дорівнює
— Ψ, подібно до того як ∫Fds = —U; вони відрізняються тільки масштабом:

Знаючи в кожній точці простору цю функцію Ψ (х, у, z), можна відразу обчислити потенціальну енергію тіла в будь-якій точці, а саме U(x, у, z) = mΨ (x, у, z). Тепер, як бачите, це стало справою дрібною. Але насправді це аж ніяк не дрібниця, тому що іноді набагато приємніше описати поле, задавши розподіл потенціалу в усьому просторі, ніж задавати С. Замість трьох складних компонент векторної функції простіше задати скалярну функцію Ψ. Крім того, коли поле створюється багатьма масами, величину Ψ розраховувати легше, ніж три компоненти С: потенціали—скаляри, їх можна просто складати, не турбуючись про напрямки сил. А поле С, як ми зараз побачимо, легко відновити, знаючи Ψ. Нехай у нас є точкові маси m₁, m₂, ... у точках 1, 2..., і ми хочемо знати потенціал Ψ у якійсь довільній точці Р. Тоді він виявляється простою сумою потенціалів окремих мас у точці Р:

Цією формулою, яка подає потенціал у вигляді суми потенціалів окремих мас, ми користувалися в попередньому розділі, щоб обчислити потенціал сферичного шару (ми тоді склали потенціали всіх поясків, на які був нарізаний шар). Підсумок розрахунку показано на фіг. 14.4. Потенціал від'ємний, дорівнює нулю на нескінченності, падає як 1/r, поки rне стане рівним а, і потім усередині шару стає сталим. Поза шаром потенціал дорівнює —Gm/r(m— маса шару), що повністю збігається з потенціалом точки з масою т, поміщеної в центрі сферичного шару. Але такий збіг існує тільки для точок зовні шару, а у внутрішніх точках потенціал виявляється рівним —Gm/a і більше не змінюється! А коли потенціал сталий, то поля немає: якщо потенціальна енергія не змінюється, то сила відсутня, тому що, коли ми рухаємо тіло з однієї внутрішньої точки в іншу, робота, яку виконує сила, точно дорівнює нулю. Чому? Та тому, що робота переміщення тіла з однієї точки в іншу дорівнює мінус зміні потенціальної енергії (або відповідний інтеграл від поля дорівнює зміні потенціалу). Але потенціальна енергія в обох точках однакова, отже, її зміна дорівнює нулю, і тому жодної роботи при будь-яких рухах усередині сферичного шару не виконується. А це можливо лише тоді, коли всередині шару немає жодних сил. У цих міркуваннях криється ключ до обчислення сили або напруженості поля, коли потенціальна енергія відома. Нехай потенціальна енергія тіла в точці (х, у, z) дана, а ми хочемо дізнатися, яка сила діє на нього в цій точці. Для цього потрібно знати потенціал не тільки в цій точці, а й у сусідніх. Чому? Спробуємо обчислити х-компоненту сили (якщо ми зуміємо це зробити, то точно так само ми обчислимо і у- і z-компоненти, визначивши тим самим всю силу). Якби ми зсунули тіло на малу відстань Δх, то робота, виконана силою над тілом, дорівнювала б x-компоненті сили, помноженій на Δх (якщо Δх достатньо мале), і мала б дорівнювати зміні потенціальної енергії при переході від однієї точки до іншої:

Ми просто застосували формулу ∫ Fds = —ΔU для дуже малих відстаней. Тепер поділимо на Δх і виявимо, що сила дорівнює

Звісно, це не зовсім точно. Насправді нам потрібно перейти в (14.10) до границі при Δх, що прямує до нуля, тому що (14.10) точно виконується тільки для нескінченно малих Δх. Ми впізнаємо в правій частині (14.10) похідну U по х і хочемо написати —dU/dx. Але U залежить і від х, і від у, і від z, і для такого випадку математики придумали інше позначення, яке розраховане на те, щоб нагадувати нам, що треба бути дуже обережним, диференціюючи таку функцію. Цей символ нагадує, що тільки х вважається змінним, а у і z — ні. Замість d вони просто пишуть «6 навиворіт», або д. (На мою думку, коли починаєш вивчати диференціальне числення, то взагалі краще працювати з д, а не з d; d завжди хочеться скоротити, а от на д якось рука не піднімається!) Отже, вони пишуть dU/dx, а іноді в нападі суворості, бажаючи бути дуже пильними, вони ставлять за дх дужку з маленькими у, z унизу (dU/dx) , що означає: «Продиференціюй U по х, вважаючи у і z сталими». Але ми найчастіше не будемо зазначати, що залишилося сталим, з контексту це завжди можна зрозуміти. Але натомість завжди писатимемо д замість d як попередження про те, що ця похідна береться при сталих значеннях інших змінних. Її називають частинною похідною, тобто похідною, для обчислення якої змінюють частину змінних, х. Отже, ми виявляємо, що сила в напрямку х дорівнює мінус частинній похідній U по х:

Так само і сила в напрямку у виходить диференціюванням U по у при сталих х і z, а третя складова сили знову-таки є похідною по z при х і у сталих:

У цьому і полягає спосіб отримувати силу з потенціальної енергії. Поле виходить з потенціалу точнісінько так само:

Зазначимо, до речі, що існує й інше позначення (утім, поки що воно нам не знадобиться). Оскільки С є вектором з компонентами х, у, z, то символи d/dх, d/dу, d/dz, що дають х-, у-, z-компоненти поля, чимось нагадують вектори. Математики винайшли знаменитий символ ∇, або grad, що називається «градієнтом»; це не величина, а оператор, він робить зі скаляра вектор. У нього є три складові: x-компонента цього grad є d/dх, y-компонента — d/dу, а z-компонента — d/dz, і ми можемо розважитися, переписавши наші формули у вигляді

Дивлячись на ∇, ми миттєво впізнаємо, що наші рівняння векторні; але насправді рівняння (14.14) означає точнісінько те саме, що й (14.11) і (14.12); просто це інший спосіб запису. Не бажаючи писати щоразу три рівняння, ми пишемо лише одне ∇U. Ще один приклад полів і потенціалів пов'язаний з електрикою. У цьому випадку сила, що діє на нерухоме тіло, дорівнює заряду, помноженому на поле: F = qЕ. (До x-складової сили входять, взагалі кажучи, і члени, які залежать від магнітного поля. Але з рівняння (12.10) легко побачити, що сила, яка діє на частинку з боку магнітних полів, завжди спрямована впоперек поля і впоперек її швидкості. Завдяки цій властивості магнетизм не виконує жодної роботи над рухомим зарядом, тому що сила перпендикулярна переміщенню. Отже, обчислюючи кінетичну енергію в електричному і магнітному полях, можна знехтувати внеском магнітного поля, оскільки воно не змінює кінетичної енергії.) Припустімо, що є тільки електричне поле. Тоді ми можемо розрахувати енергію або виконану роботу точно таким самим способом, як і для тяжіння: обчислити величину φ, що дорівнює мінус інтегралу від Е•ds від довільної фіксованої точки Р до точки, у якій обчислюється потенціал; тоді потенціальна енергія в електричному полі дорівнює просто добутку заряду на цю величину φ:
φ(r) = -∫E ds,
U = qφ.
Як приклад розглянемо дві паралельні металеві пластини з поверхневим зарядом ±σ (на одиницю площі) кожна. Така штука називається плоским конденсатором. Ми вже переконалися раніше, що зовні пластин сила дорівнює нулю, а між ними існує стале електричне поле. Воно спрямоване від плюса до мінуса і дорівнює σ/ε₀ (фіг. 14.5). Ми хочемо знати, яку роботу треба виконати, щоб перенести заряд від однієї пластини до іншої. Робота дорівнює інтегралу від (Сила)·(ds). Це можна записати як добуток заряду на значення потенціалу на пластині 1 мінус та сама величина на пластині 2:

Інтеграл тут легко обчислити, так як сила стала, і якщо позначити товщину конденсатора d, то інтеграл дорівнює

Різниця в потенціалах Δφ = σd/ε₀ називається напругою і φ вимірюють у вольтах. Коли ми кажемо, що пара пластин заряджена до певної напруги, ми хочемо цим сказати, що різниця електричних потенціалів двох пластин дорівнює стільки-то вольтам. У конденсатора, зробленого з двох паралельних пластин з поверхневим зарядом ±σ, напруга (або різниця потенціалів цієї пари пластин) дорівнює σd/ε₀.