Звернімося тепер до цікавої задачі, схожої на щойно описану і пов'язаної із законом випромінювання чорного тіла. У попередньому розділі ми розбирали виведення закону розподілу випромінювання в порожнині за способом Планка, розглядаючи випромінювання осцилятора. Осцилятор має певну середню енергію, а раз він осцилює, то повинен і випромінювати, і накачувати випромінювання в порожнину, доки вона не заповниться саме такою кількістю випромінювання, яка потрібна для підтримання рівноваги між випромінюванням і поглинанням. Міркуючи таким чином, ми знайшли, що інтенсивність випромінювання частоти ω задається формулою
Зображення
Це виведення містить припущення, що осцилятор, який генерує випромінювання, має певні рівні енергії, розташовані на однаковій відстані один від одного. Ми не говорили про те, що світло складається з фотонів чи чогось подібного. Ми навіть не ставили питання, яким чином при переході атома з одного рівня енергії на інший переноситься одинична енергія hω у вигляді світла. Початкова ідея Планка полягала в тому, що речовина квантована, а світло — ні: осцилятор не може отримувати будь-яку енергію, а повинен приймати її порціями. Викликає ще занепокоєння те, що спосіб виведення — напівкласичний. Ми обчислили швидкість випромінювання осцилятора, виходячи із законів класичної фізики, а потім забули про це і сказали: «Ні, цей осцилятор має багато рівнів енергії». Але для послідовно строгого виведення цієї суто квантової формули довелося пройти довгий шлях, що завершився у 1927 р. створенням квантової механіки. А тим часом Ейнштейн спробував замінити точку зору Планка, за якою квантовані лише матеріальні осцилятори, ідеєю про те, що світло насправді складається з фотонів і його слід у певному сенсі розуміти як газ із частинок з енергією hω. Далі Бор звернув увагу на те, що будь-яка система атомів має рівні енергії, але відстані між ними не обов'язково сталі, як в осциляторів Планка. Тому виникла потреба переглянути виведення або хоча б точніше дослідити закон випромінювання, виходячи з послідовнішої квантовомеханічної точки зору.
Ейнштейн припустив, що остаточна формула Планка правильна, і використав її для отримання нової, раніше невідомої інформації про взаємодію випромінювання з речовиною. Він міркував так: потрібно розглянути будь-які два з можливих рівнів енергії атома, скажімо, m-й і n-й рівні (фіг. 42.2). Потім Ейнштейн припустив, що коли атом освітлюється світлом відповідної частоти, він може поглинути фотон, перейшовши зі стану n у стан m, і ймовірність такого переходу за 1 с пропорційна інтенсивності світла, що освітлює атом, і ще залежить від того, які рівні ми візьмемо.
Назвемо сталу пропорційності Вnm, щоб пам'ятати, що це не універсальна стала природи і залежить вона від того, яку пару рівнів ми оберемо: деякі рівні збудити легко, а інші збуджуються з великими труднощами. Тепер потрібно знайти формулу, що описує швидкість переходу з m у n. Ейнштейн припустив, що вона складається з двох частин. Навіть якщо зовнішнього випромінювання немає, існує ймовірність того, що атом, випромінивши фотон, перейде зі збудженого стану в стан з меншою енергією. Це так зване спонтанне випромінювання.
Це припущення аналогічне ідеї про те, що навіть класичний осцилятор, маючи певну енергію, не може її зберегти; випромінювання неминуче спричиняє втрату енергії. Таким чином, за аналогією зі спонтанним випромінюванням класичних систем існує певна ймовірність Аmn (вона знову залежить від рівнів), з якою атом переходить зі стану m у стан n, і ця ймовірність не залежить від того, освітлюється атом світлом чи ні. Але Ейнштейн пішов ще далі і, порівнявши з класичною фізикою та використовуючи інші аргументи, дійшов висновку, що випромінювання залежить від наявності світла навколо. Коли атом освітлюється світлом відповідної частоти, то ймовірність випромінювання фотона зростає пропорційно інтенсивності світла зі сталою пропорційності Вmn. Якби нам вдалося з'ясувати, що цей коефіцієнт дорівнює нулю, то ми викрили б Ейнштейна в помилці. Але, звісно, ми побачимо, що він мав рацію.
Отже, Ейнштейн припустив, що існує три сорти процесів: поглинання, пропорційне інтенсивності світла, випромінювання, пропорційне інтенсивності світла (його називають індукованим випромінюванням, або вимушеним випромінюванням), і спонтанне випромінювання, що не залежить від інтенсивності світла.
Припустімо тепер, що за температури Т встановилася рівновага, і в стані n перебуває деяка кількість атомів Nn, а в стані m — деяка кількість атомів Nm. Тоді повне число атомів, що переходять з n у m, дорівнює добутку числа атомів у стані n на швидкість переходу одного атома зі стану n у стан m. Таким чином, ми отримали формулу для числа атомів, що переходять за 1 с з n у m:
Ейнштейн припустив, що остаточна формула Планка правильна, і використав її для отримання нової, раніше невідомої інформації про взаємодію випромінювання з речовиною. Він міркував так: потрібно розглянути будь-які два з можливих рівнів енергії атома, скажімо, m-й і n-й рівні (фіг. 42.2). Потім Ейнштейн припустив, що коли атом освітлюється світлом відповідної частоти, він може поглинути фотон, перейшовши зі стану n у стан m, і ймовірність такого переходу за 1 с пропорційна інтенсивності світла, що освітлює атом, і ще залежить від того, які рівні ми візьмемо.
Назвемо сталу пропорційності Вnm, щоб пам'ятати, що це не універсальна стала природи і залежить вона від того, яку пару рівнів ми оберемо: деякі рівні збудити легко, а інші збуджуються з великими труднощами. Тепер потрібно знайти формулу, що описує швидкість переходу з m у n. Ейнштейн припустив, що вона складається з двох частин. Навіть якщо зовнішнього випромінювання немає, існує ймовірність того, що атом, випромінивши фотон, перейде зі збудженого стану в стан з меншою енергією. Це так зване спонтанне випромінювання.
Це припущення аналогічне ідеї про те, що навіть класичний осцилятор, маючи певну енергію, не може її зберегти; випромінювання неминуче спричиняє втрату енергії. Таким чином, за аналогією зі спонтанним випромінюванням класичних систем існує певна ймовірність Аmn (вона знову залежить від рівнів), з якою атом переходить зі стану m у стан n, і ця ймовірність не залежить від того, освітлюється атом світлом чи ні. Але Ейнштейн пішов ще далі і, порівнявши з класичною фізикою та використовуючи інші аргументи, дійшов висновку, що випромінювання залежить від наявності світла навколо. Коли атом освітлюється світлом відповідної частоти, то ймовірність випромінювання фотона зростає пропорційно інтенсивності світла зі сталою пропорційності Вmn. Якби нам вдалося з'ясувати, що цей коефіцієнт дорівнює нулю, то ми викрили б Ейнштейна в помилці. Але, звісно, ми побачимо, що він мав рацію.
Отже, Ейнштейн припустив, що існує три сорти процесів: поглинання, пропорційне інтенсивності світла, випромінювання, пропорційне інтенсивності світла (його називають індукованим випромінюванням, або вимушеним випромінюванням), і спонтанне випромінювання, що не залежить від інтенсивності світла.
Припустімо тепер, що за температури Т встановилася рівновага, і в стані n перебуває деяка кількість атомів Nn, а в стані m — деяка кількість атомів Nm. Тоді повне число атомів, що переходять з n у m, дорівнює добутку числа атомів у стані n на швидкість переходу одного атома зі стану n у стан m. Таким чином, ми отримали формулу для числа атомів, що переходять за 1 с з n у m:
Зображення
Число атомів, що переходять з m у n, отримується точно таким самим способом: потрібно помножити число атомів у стані m на швидкість переходу одного атома. Цього разу отриманий вираз виглядає так:
Зображення
Тепер припустімо, що за теплової рівноваги число атомів, які піднімаються на верхній рівень, повинно дорівнювати числу атомів, які спускаються вниз. Це принаймні один із способів утримувати число атомів на кожному рівні сталим. Отже, за рівноваги ми вважаємо обидві швидкості рівними. Але в нас у запасі є ще дещо інформації: ми знаємо, наскільки велике Nm порівняно з Nn; відношення цих чисел дорівнює exp[ — (Еm–Еn)/kТ]. Після цього Ейнштейн припустив, що частота світла, яке залучається до гри при переходах з m у n, відповідає різниці енергій, так що в усіх наших формулах Еm— Еn=hω. Отже,
Зображення
Таким чином, якщо прирівняти дві швидкості: NnBmnI(ω) =Nm[Amn+BmnI(ω)] і поділити на Nm, то ми отримаємо
Зображення
З цього виразу можна знайти I(ω). Це просто:
Зображення
Але Планк уже сказав нам, що формула повинна мати вигляд (42.12). Отже, ми можемо зробити дещо висновків: перш за все Вmn повинно дорівнювати Вnm, бо інакше exp(hω/kТ)—1 не отримати. Таким чином, Ейнштейн відкрив деякі співвідношення, прямого виведення яких він не знав, наприклад, що ймовірності вимушеного випромінювання і поглинання повинні бути рівними. Це цікаво. Крім того, щоб (42.17) і (42.12) узгоджувалися,
Зображення
Отже, якщо відома, скажімо, швидкість поглинання для заданого рівня, то можна отримати швидкість спонтанного випромінювання і швидкість вимушеного випромінювання або якусь комбінацію цих величин.
Більшого на підставі настільки загальних припущень ні Ейнштейн, ні взагалі будь-хто отримати не зможе. Щоб справді обчислити абсолютну швидкість спонтанного випромінювання або взагалі будь-яку швидкість специфічно атомного переходу, потрібно знати всі приховані механізми атома. Цього навчає так звана квантова електродинаміка, відкрита лише одинадцять років по тому. А Ейнштейн передбачив усе це в 1916 р.
Можливість вимушеного випромінювання в наші дні знайшла цікаве застосування. Якщо є світло, то воно прагне викликати перехід згори вниз. Тоді цей перехід може збільшити енергію світла на hω, якщо знайдуться такі атоми, у яких зайнятий верхній рівень. Можна розробити нетепловий метод приготування газу, в якому число станів m набагато більше числа станів n. Газ буде дуже далекий від рівноваги, і формулу exp(—hω/kТ), правильну для рівноваги, до нього застосувати не можна. Можна домогтися навіть, щоб число зайнятих верхніх станів було дуже великим, тоді як число атомів у нижньому стані практично дорівнюватиме нулю. Тоді світло з частотою, що відповідає різниці енергій Еm–Еn, поглинатиметься дуже слабко, бо атомів, які перебувають у стані n і здатні поглинути його, дуже мало. З іншого боку, коли газ із таких атомів освітлений, то світло викликає випромінювання з верхнього стану! Таким чином, якщо у верхньому стані перебуває багато атомів, то починається щось на кшталт ланцюгової реакції, коли атоми раптом починають випромінювати; більше того, вони вимушені випромінювати, і всі разом провалюються в нижній стан. Так працює лазер, а якщо випромінюються інфрачервоні хвилі, то їхнє джерело називають мазером.
Щоб загнати атоми в стан m, вдаються до різних хитрощів. Може існувати вищий рівень, на який атоми можна підняти сильним пучком світла високої частоти. З цього високого рівня атоми падають вниз, випромінюючи найрізноманітніші фотони, поки не зберуться на рівні m. Якщо атоми прагнуть затриматися на рівні m, не випромінюючи фотонів, то цей рівень називають метастабільним. А потім атоми разом зіскакують з рівня m, супроводжуючи стрибок вимушеним випромінюванням. Ще одна технічна деталь — якщо помістити нашу систему у звичайний ящик, то вона може спонтанно випромінювати в багатьох напрямках, що завдає шкоди вимушеному випромінюванню. Але можна посилити ефект вимушування і збільшити його значення, поставивши біля кожної стінки ящика майже повністю відбивні дзеркала; тоді випромінене світло отримує шанс викликати додаткове випромінювання, наступне відбиття додасть ще один такий шанс, а потім ще, ще і ще. Хоча дзеркала відбивають майже все світло, існує невелика ймовірність проходження частини світла крізь дзеркало і виходу назовні. Зрештою все світло, підкоряючись закону збереження енергії, вийде назовні у вигляді тонкого, сильного пучка. Так і отримують потужні пучки світла в лазерах.