Теплова іонізація

Перейдімо тепер до ще одного застосування тієї самої ідеї. Тепер мова піде про іонізацію. Припустімо, що газ складається з великої кількості атомів, які зазвичай нейтральні, але якщо газ нагріти, то атоми можуть виявитися іонізованими. Нам потрібно знати, скільки існує іонів за тих чи інших обставин, тобто за заданої густини атомів в одиничному об'ємі і за певної температури. Знову доведеться уявити собі ящик, у якому міститься N атомів, що містять у собі електрони. (Якщо електрон залишає атом, то атому присвоюється назва іон, а якщо атом нейтральний, то говорять просто— атом.) Таким чином, припустімо, що в заданий момент в одиничному об'ємі число нейтральних атомів дорівнює n_a, число іонів дорівнює n_i, а число електронів дорівнює n_e. Потрібно визначити, як пов'язані ці три числа між собою? Насамперед ці числа підпорядковуються двом умовам або зв'язкам. Наприклад, можна як завгодно змінювати різні умови, температуру і т. д., але сума n_a+ n_i завжди залишиться однією і тією самою, бо це просто-напросто N —число атомних ядер у ящику. Якщо в одиниці об'єму число ядер зберігається сталим, а змінюється, скажімо, температура, то, хоча внаслідок іонізації деякі атоми перетворюються на іони, загальне число атомів та іонів не змінюється. Отже, n_a+ n_i = N. Інша умова випливає з того, що якщо газ загалом електрично нейтральний (і якщо ми нехтуємо подвійною чи потрійною іонізацією), то число іонів завжди дорівнює числу електронів, або n_e = n_i. Ці додаткові умови просто виражають збереження заряду і збереження атомів. Ці рівності правильні, і ми, зрештою, завжди використовуємо їх при розв'язанні реальних задач. Але нам потрібно отримати інше співвідношення між цими величинами. Зробити це можна так. Звернімося знову до ідеї про те, що для відриву електрона від атома потрібна певна кількість енергії, яку ми будемо називати енергією іонізації і позначати буквою W (щоб нові формули виглядали так само, як і раніше). Отже, W дорівнює енергії, потрібній для того, щоб відірвати електрон від атома і отримати іон. Ми знову переконуємося, що число вільних електронів в одиничному об'ємі «пари» дорівнює добутку числа електронів в одиничному об'ємі, зв'язаних в атомах, на e в степені мінус різниця енергій зв'язаного і вільного електронів, поділена на kТ. Знову основне рівняння. Але як це записати? Число вільних електронів в одиничному об'ємі, звісно, n_e, бо таке визначення n_e. Ну, а що можна сказати про число зв'язаних в атомі електронів в одиничному об'ємі? Загальне число місць, відданих електронам, дорівнює n_a +n_i, і ми припустимо, що коли всі електрони зв'язані, то кожному відводиться певний об'єм V_a. Таким чином, повний атомний об'єм, який займають зв'язані електрони, дорівнює (n_a +n_i)V_a, і нашу формулу тепер можна записати у вигляді

Але ця формула неправильна. Ми випустили з уваги одну істотну обставину: коли один електрон потрапив в атом, інший електрон вже не може проникнути в той самий об'єм! Інакше кажучи, не всі об'єми з числа можливих доступні електрону, який роздумує, куди б йому податися — у пару чи в конденсований стан. Тут виникають непередбачені ускладнення, через які електрон не може підійти близько до того місця, де вже перебуває інший електрон — вони відштовхуються. З цієї причини ми повинні враховувати лише ту частину об'єму, в якій електрон може розміститися. Адже ті об'єми, які вже зайняті, не можна зараховувати до числа можливих, і лише ті об'єми, які надані іонам, можна розглядати як місця, вакантні для електронів. Тоді, врахувавши цю обставину, ми знайдемо, що точніша формула записується у вигляді

Цю формулу називають рівнянням іонізації, або рівнянням Саха. Тепер подивимося, чи можемо ми якісно зрозуміти, чому виходить формула, подібна до цієї, якщо стежити за кінетикою процесу. Насамперед час від часу, коли електрон стикається з іоном, вони об'єднуються в атом. Точно так само час від часу атом зазнає зіткнення і розвалюється на іон та електрон. Швидкості обох процесів мають бути рівними. А чи довго електрону та іону шукати одне одного? Зустрічі, звісно, частішають, якщо зростає число електронів в одиничному об'ємі. До цього ж призводить і збільшення числа іонів в одиничному об'ємі. Отже, повна швидкість рекомбінації пропорційна добутку числа електронів на число іонів. Далі, повна швидкість іонізації внаслідок зіткнень має лінійно залежати від числа здатних до іонізації атомів. Таким чином, швидкості обох процесів урівноважуються тоді, коли встановиться певне співвідношення між добутком n_en_i і числом атомів n_a. Той факт, що це співвідношення виражається особливою формулою, куди входить енергія іонізації W, дає, звісно, дещо більше інформації, але ми можемо легко зрозуміти, що така формула обов'язково повинна містити концентрації електронів, іонів та атомів у комбінації n_en_i/n_a, яка приводить до сталої, що більше не залежить від чисел n, а лише від температури, атомних розмірів та інших сталих. Зауважимо також, що оскільки рівняння містить числа в одиничному об'ємі, і якщо ми поставимо два досліди з тим самим повним числом N атомів та іонів, тобто зі строго визначеним числом ядер, але укладемо їх у ящики різних об'ємів, то числа n будуть меншими для більших ящиків. Однак відношення n_en_i/n_a повинно залишатися сталим, тому повне число електронів та іонів повинно бути більшим у більшому ящику. Щоб переконатися в цьому, припустімо, що в ящик об'єму V вміщено N ядер і їхня f-та частина іонізована. Тоді n_e=fN/V=n_i і n_a=(1—f)N/V. У цьому разі наше рівняння набуває вигляду

Інакше кажучи, якщо ми беремо все меншу і меншу густину атомів або безперервно збільшуємо об'єм ящика, відносне число електронів та іонів f повинно зрости. Те, що іонізація може бути викликана просто «розширенням», при якому густина зменшується, пояснює нам, чому за дуже малих густин (які трапляються в холодному міжзоряному просторі) багато іонів, хоча це важко зрозуміти, зважаючи на наявну в нашому розпорядженні енергію. Енергія в багато-багато разів більша за kТ, але іони все одно є. Чому ж іони можуть існувати лише за умови, що навколо них є багато місця, тоді як при збільшенні густини вони прагнуть зникнути? Відповідь: усе справа в атомах. Час від часу світло, або інший атом, або іон, або ще щось, що підтримує теплову рівновагу, руйнує атоми. Дуже рідко, бо для цього потрібні величезні кількості надлишкової енергії, електрон відривається і відбувається перетворення атома на іон. Якщо простори величезні, то електрон тиняється дуже довго, може бути, багато років, і нічого не зустрічає. Але одного разу він знаходить іон, і тоді вони об'єднуються в атом. Швидкість, з якою електрони залишають атоми, дуже мала. Але якщо об'єм величезний, то електрон, що втік, так довго шукає іон, з яким він міг би рекомбінувати, що ймовірність рекомбінації зовсім мізерна; тому, попри те, що для іонізації потрібні великі надлишки енергії, число електронів може бути цілком відчутним.