Принципово нам уже зрозуміло, що перехідний процес у підкритичному реакторі при зміні ступеня підкритичності реактора від одного значення до іншого має бути процесом переходу величини густини нейтронів n(t) від одного усталеного значення nу1, що відповідає величині початкового ступеня підкритичності δkп1, до іншого усталеного значення nу2, що відповідає іншому значенню ступеня підкритичності δkп2. Тому єдине, що нас цікавить зараз, це характер цього перехідного процесу, тобто математична закономірність, якій підпорядковується перехідний процес.
Нехай спочатку реактор був підкритичним при ступені підкритичності δkп1, внаслідок чого в ньому встановилася густина нейтронів nу1 = s l / δkп1. При стрибкоподібному збільшенні ступеня підкритичності від δkп1 до δkп2 на величину Δδkп = δkп2 - δkп1 (що рівносильно зменшенню величини ефективного коефіцієнта розмноження нейтронів на ту саму величину: Δδkп = (1 - kе2) - ( 1 - kе1) = - (kе2 - kе1) = - Δk) перехідний процес n(t) відбуватиметься вже при сталій величині ступеня підкритичності δkп2 = δkп1 + Δδkп = δkп1 - Δk, тому елементарне рівняння кінетики для цього перехідного процесу матиме вигляд
dn / dt = - ( δkп2 / l) [ n(t) - (sl /δkп2)] , або dn / dt = - (δkп2 / l) [n(t) - nу2] (13.9)
Рівняння (13.9) - рівняння з відокремлюваними змінними:
dn / [n(t) - nу2] = - (δkп2 / l ) dt (13.10)
Розв'язувати його слід при очевидній початковій умові:
при t = 0 n(t=0) = nу1 (13.11)
Інтегрування дає таке:
ln [n(t) - nу2] = - (δkп2 / l) t, а підстановка початкової умови в цей вираз:
ln {[n(t) - nу2] /(nу1 - nу2)} = - (δkп2 / l) t, або [n(t) - nу2] / (nу1 - nу2) = exp [- (δkп2 / l) t ], звідки:
n(t) = nу2 - (nу2 - nу1) exp [- (δkп2 / l) t ], або:
n(t) = nу2{l - [1 - (nу1/ nу2)] exp [- (δkп2 / l) t] } (13.12)
Враховуючи, що відношення початкової та кінцевої густин нейтронів nу1 / nу2 = (sl /δkп1) / (sl / δkп2) = δkп2 / δkп1 = (δkп1+ Δδkп) / δkп1 = 1 - Δk/δkп1,
(13.12) можна перетворити до вигляду, в якому в правій частині фігурують лише вихідні дані (nу1) і величина змінення ступеня підкритичності, що вноситься, або, краще, величина зміни ефективного коефіцієнта розмноження Δk = kе2 - kе1, що відповідає заданій зміні ступеня підкритичності ( Δk = - Δδkп):
n(t) = [nу1 /(1 - Δk/δkп1)] {1 + (Δk/ δkп1) exp [- (δkп1- Δk) t /l]}. (13.13)
Нарешті, вираз для перехідного процесу стане ще прозорішим, якщо виразити величини ступеня підкритичності δkп1 через величину ефективного коефіцієнта розмноження kе1:
n(t) = {nу1 /{1 – [Δk /(1 - kе1)] }} {1 + [Δk /(1 - kе1)] exp [(kе1 - 1 + Δk) t / l]}. (13.14)
Вираз (13.14) однозначно свідчить про те, що перехідний процес у підкритичному реакторі при зміні величини ефективного коефіцієнта розмноження на величину Δk (або, що те саме, - при зміні ступеня підкритичності реактора) має суто експоненціальний характер - зростаючий при збільшенні ефективного коефіцієнта розмноження на Δk (або зменшенні ступеня підкритичності на Δk) і спадний при зменшенні величини ефективного коефіцієнта розмноження на Δk (або збільшенні ступеня підкритичності на Δk).
Якісний вигляд перехідних процесів при стрибкоподібній (східчастій) зміні величини ефективного коефіцієнта розмноження в додатний і від'ємний боки показано на рис.13.2.
Нехай спочатку реактор був підкритичним при ступені підкритичності δkп1, внаслідок чого в ньому встановилася густина нейтронів nу1 = s l / δkп1. При стрибкоподібному збільшенні ступеня підкритичності від δkп1 до δkп2 на величину Δδkп = δkп2 - δkп1 (що рівносильно зменшенню величини ефективного коефіцієнта розмноження нейтронів на ту саму величину: Δδkп = (1 - kе2) - ( 1 - kе1) = - (kе2 - kе1) = - Δk) перехідний процес n(t) відбуватиметься вже при сталій величині ступеня підкритичності δkп2 = δkп1 + Δδkп = δkп1 - Δk, тому елементарне рівняння кінетики для цього перехідного процесу матиме вигляд
dn / dt = - ( δkп2 / l) [ n(t) - (sl /δkп2)] , або dn / dt = - (δkп2 / l) [n(t) - nу2] (13.9)
Рівняння (13.9) - рівняння з відокремлюваними змінними:
dn / [n(t) - nу2] = - (δkп2 / l ) dt (13.10)
Розв'язувати його слід при очевидній початковій умові:
при t = 0 n(t=0) = nу1 (13.11)
Інтегрування дає таке:
ln [n(t) - nу2] = - (δkп2 / l) t, а підстановка початкової умови в цей вираз:
ln {[n(t) - nу2] /(nу1 - nу2)} = - (δkп2 / l) t, або [n(t) - nу2] / (nу1 - nу2) = exp [- (δkп2 / l) t ], звідки:
n(t) = nу2 - (nу2 - nу1) exp [- (δkп2 / l) t ], або:
n(t) = nу2{l - [1 - (nу1/ nу2)] exp [- (δkп2 / l) t] } (13.12)
Враховуючи, що відношення початкової та кінцевої густин нейтронів nу1 / nу2 = (sl /δkп1) / (sl / δkп2) = δkп2 / δkп1 = (δkп1+ Δδkп) / δkп1 = 1 - Δk/δkп1,
(13.12) можна перетворити до вигляду, в якому в правій частині фігурують лише вихідні дані (nу1) і величина змінення ступеня підкритичності, що вноситься, або, краще, величина зміни ефективного коефіцієнта розмноження Δk = kе2 - kе1, що відповідає заданій зміні ступеня підкритичності ( Δk = - Δδkп):
n(t) = [nу1 /(1 - Δk/δkп1)] {1 + (Δk/ δkп1) exp [- (δkп1- Δk) t /l]}. (13.13)
Нарешті, вираз для перехідного процесу стане ще прозорішим, якщо виразити величини ступеня підкритичності δkп1 через величину ефективного коефіцієнта розмноження kе1:
n(t) = {nу1 /{1 – [Δk /(1 - kе1)] }} {1 + [Δk /(1 - kе1)] exp [(kе1 - 1 + Δk) t / l]}. (13.14)
Вираз (13.14) однозначно свідчить про те, що перехідний процес у підкритичному реакторі при зміні величини ефективного коефіцієнта розмноження на величину Δk (або, що те саме, - при зміні ступеня підкритичності реактора) має суто експоненціальний характер - зростаючий при збільшенні ефективного коефіцієнта розмноження на Δk (або зменшенні ступеня підкритичності на Δk) і спадний при зменшенні величини ефективного коефіцієнта розмноження на Δk (або збільшенні ступеня підкритичності на Δk).
Якісний вигляд перехідних процесів при стрибкоподібній (східчастій) зміні величини ефективного коефіцієнта розмноження в додатний і від'ємний боки показано на рис.13.2.
Зображення
Рис.13.2. Експоненціальний характер перехідних процесів n(t) у підкритичному реакторі: а) при стрибкоподібному зменшенні ступеня підкритичності реактора (або збільшенні ефективного коефіцієнта розмноження на ту саму величину) і б) при стрибкоподібному збільшенні ступеня підкритичності реактора (або відповідному зменшенні величини kе на ту саму величину).