Загальний вигляд диференціального рівняння шлакування реактора одним (i-м) шлаком визначається логікою швидкості зміни концентрації цього шлаку: швидкість зміни концентрації будь-якого шлаку - є різниця швидкостей його утворення (як безпосереднього уламка поділу ядер палива) і зникнення (внаслідок поглинання нейтронів):
dNi /dt = γi σf5 N5(t) Ф(t) - σai Ni(t) Ф(t) (16.2.1)
Нам цікавий найближчий до практики експлуатації випадок роботи реактора на постійному рівні потужності Np(t) = idem , умова якого відповідно до формули (15.1.3):
N5(t) Ф(t) = idem = Np / CN (16.2.2)
Більше того, нам уже відомий характер зміни густини потоку нейтронів при постійному рівні потужності реактора Ф(t) = Np / CN N5(t) і характер спаду концентрації 235U у процесі кампанії N5(W) = N5o - (σa5/CN) Npt = N5o - (σa5/CN)W (через енерговироблення W), або N5(z) = N5o(1 - z) (через величину ступеня вигоряння z), тому вираз для густини потоку нейтронів, що змінюється в процесі кампанії, у найзручнішому й загальному вигляді при сталості потужності реактора буде таким:
Ф(t) = Np / CNN5o(1 - z) (16.2.3)
Для експлуатаційника диференціальне рівняння шлакування (16.2.1) наочніше в усіх відношеннях розв'язувати в експлуатаційних величинах (потужність, ступінь вигоряння палива), а не у величинах (густина потоку нейтронів, час). Для цього похідну за часом dNi/dt слід замінити похідною за ступенем вигоряння dNi/dz, користуючись відомим взаємозв'язком величин.
Оскільки z = (σa5/N5oCN)Npt, то dz/dt = (σa5/N5oCN)Np (величини перед t при постійному рівні потужності реактора - сталі), і похідна dNi/dt очевидно, дорівнюватиме:
dNi/dt = (dNi/dz)(dz/dt) = (σa5/N5oCN) Np (dNi/dz) (16.2.4)
Підстановка виразів (16.2.1), (16.2.2) і (16.2.3) у рівняння (16.2.4) дає таке:
dNi/dz = γi f5N5o - [(σai/σa5) /(1 - z)] Ni(z) . (16.2.5) Примітка. У процесі підстановки величина перерізу поділу урану-235 замінена через переріз поглинання урану-235: σf5 = f5 σa5 . (Величина частки ядер урану-235, що діляться, серед усіх ядер, які поглинають теплові нейтрони f5 ≈ 0.857, якщо не враховувати різний ступінь відхилення цих перерізів від закону «1/v»).
Позначаючи для стислості γi f5 N5o = A, а f5 = a, отримуємо диференціальне рівняння типового лінійного вигляду:
Ni`(z) + [a /(1 -z)] Ni(z) - A = 0
Його розв'язок при нульових початкових умовах (при t = 0 і z =0 Ni(z) = 0, оскільки на початку кампанії концентрація будь-якого шлаку в реакторі дорівнює нулю) має вигляд:
Ni(z) = [(γi a N5o)/(1 – a)](1 - z) [(1 - z) a - 1 - 1] (16.2.6)
Тобто перехідний процес наростання концентрації будь-якого (i-го) шлаку в реакторі в процесі кампанії залежно від ступеня вигоряння має складний степеневий характер, крутизна якого визначається тільки величиною початкової концентрації урану-235 (N5o).
Переходячи до іншої характеристики процесу шлакування i-м шлаком - частки поглинання нейтронів i-м шлаком - за формулою qшi(z) = [(σai/σa5N5(z)] Ni(z), - маємо:
qшi(z) = [a γi N5oσai/σa5(1 – a)N5(z)] (1 - z) [(1 -z)a - 1 - 1] , а оскільки N5(z)/N5o = 1 - z, то:
qшi(z) = [aγiσai/σa5(1 – a)] [(1 - z) a - 1 - 1] , або
qшi(z) = [aγiσai /(σa5 - σai)] [(1 - z)a - 1 - 1] , або, нарешті,
qшi(z) = {aγi/[(1/a) - 1]} [(1 - z)a - 1 - 1] (16.2.6)
Це стосується тільки одного (i-го) шлаку. Для всіх же шлаків, узятих разом, відносна частка нейтронів, які вони поглинають, згідно з (16.2):
dNi /dt = γi σf5 N5(t) Ф(t) - σai Ni(t) Ф(t) (16.2.1)
Нам цікавий найближчий до практики експлуатації випадок роботи реактора на постійному рівні потужності Np(t) = idem , умова якого відповідно до формули (15.1.3):
N5(t) Ф(t) = idem = Np / CN (16.2.2)
Більше того, нам уже відомий характер зміни густини потоку нейтронів при постійному рівні потужності реактора Ф(t) = Np / CN N5(t) і характер спаду концентрації 235U у процесі кампанії N5(W) = N5o - (σa5/CN) Npt = N5o - (σa5/CN)W (через енерговироблення W), або N5(z) = N5o(1 - z) (через величину ступеня вигоряння z), тому вираз для густини потоку нейтронів, що змінюється в процесі кампанії, у найзручнішому й загальному вигляді при сталості потужності реактора буде таким:
Ф(t) = Np / CNN5o(1 - z) (16.2.3)
Для експлуатаційника диференціальне рівняння шлакування (16.2.1) наочніше в усіх відношеннях розв'язувати в експлуатаційних величинах (потужність, ступінь вигоряння палива), а не у величинах (густина потоку нейтронів, час). Для цього похідну за часом dNi/dt слід замінити похідною за ступенем вигоряння dNi/dz, користуючись відомим взаємозв'язком величин.
Оскільки z = (σa5/N5oCN)Npt, то dz/dt = (σa5/N5oCN)Np (величини перед t при постійному рівні потужності реактора - сталі), і похідна dNi/dt очевидно, дорівнюватиме:
dNi/dt = (dNi/dz)(dz/dt) = (σa5/N5oCN) Np (dNi/dz) (16.2.4)
Підстановка виразів (16.2.1), (16.2.2) і (16.2.3) у рівняння (16.2.4) дає таке:
dNi/dz = γi f5N5o - [(σai/σa5) /(1 - z)] Ni(z) . (16.2.5) Примітка. У процесі підстановки величина перерізу поділу урану-235 замінена через переріз поглинання урану-235: σf5 = f5 σa5 . (Величина частки ядер урану-235, що діляться, серед усіх ядер, які поглинають теплові нейтрони f5 ≈ 0.857, якщо не враховувати різний ступінь відхилення цих перерізів від закону «1/v»).
Позначаючи для стислості γi f5 N5o = A, а f5 = a, отримуємо диференціальне рівняння типового лінійного вигляду:
Ni`(z) + [a /(1 -z)] Ni(z) - A = 0
Його розв'язок при нульових початкових умовах (при t = 0 і z =0 Ni(z) = 0, оскільки на початку кампанії концентрація будь-якого шлаку в реакторі дорівнює нулю) має вигляд:
Ni(z) = [(γi a N5o)/(1 – a)](1 - z) [(1 - z) a - 1 - 1] (16.2.6)
Тобто перехідний процес наростання концентрації будь-якого (i-го) шлаку в реакторі в процесі кампанії залежно від ступеня вигоряння має складний степеневий характер, крутизна якого визначається тільки величиною початкової концентрації урану-235 (N5o).
Переходячи до іншої характеристики процесу шлакування i-м шлаком - частки поглинання нейтронів i-м шлаком - за формулою qшi(z) = [(σai/σa5N5(z)] Ni(z), - маємо:
qшi(z) = [a γi N5oσai/σa5(1 – a)N5(z)] (1 - z) [(1 -z)a - 1 - 1] , а оскільки N5(z)/N5o = 1 - z, то:
qшi(z) = [aγiσai/σa5(1 – a)] [(1 - z) a - 1 - 1] , або
qшi(z) = [aγiσai /(σa5 - σai)] [(1 - z)a - 1 - 1] , або, нарешті,
qшi(z) = {aγi/[(1/a) - 1]} [(1 - z)a - 1 - 1] (16.2.6)
Це стосується тільки одного (i-го) шлаку. Для всіх же шлаків, узятих разом, відносна частка нейтронів, які вони поглинають, згідно з (16.2):
Зображення
Але експлуатаційника цікавить навіть не ця теоретична величина, а більшою мірою - втрати реактивності внаслідок шлакування, які, як згадувалося раніше, знаходяться за формулою (16.3):
Зображення
З (16.2.8) випливає, що перехідний процес наростання втрат реактивності в процесі кампанії залежно від ступеня вигоряння ( z ) становить суму n степеневих функцій (n - число типів шлаків), кожна з яких має свою крутизну, що визначається тільки типом шлаку, оскільки величини γi і σai (що входять у відношення a = σai/σa5 - притаманні кожному конкретному шлаку, - тобто, іншими словами, що визначається співвідношенням мікроперерізів поглинання кожного шлаку й урану-235.
За пропозицією Йоффе й Окуня (1945 р.) уся компанія з понад 60 шлаків, що утворюються при поділі, була замінена сумою трьох груп шлаків, кожна з яких має усереднені характеристики.
Якщо група складається з m шлаків, що мають досить близькі величини фізичних характеристик (γi і σai), то ці характеристики для групи можуть бути усереднені за принципом:
а) Питомий вихід групи шлаків - є сума питомих виходів кожного зі шлаків, що складають групу, тобто:
За пропозицією Йоффе й Окуня (1945 р.) уся компанія з понад 60 шлаків, що утворюються при поділі, була замінена сумою трьох груп шлаків, кожна з яких має усереднені характеристики.
Якщо група складається з m шлаків, що мають досить близькі величини фізичних характеристик (γi і σai), то ці характеристики для групи можуть бути усереднені за принципом:
а) Питомий вихід групи шлаків - є сума питомих виходів кожного зі шлаків, що складають групу, тобто:
Зображення
б) Середня величина мікроперерізу поглинання групи - є середньозважене значення мікроперерізів поглинання шлаків, що складають групу:
Зображення
Чому саме три групи шлаків? - Для відповіді на це запитання треба зрозуміти, які це групи шлаків і чим вони якісно відрізняються одна від одної.
а) Перша група шлаків (так звані сильні шлаки) характеризується величиною мікроперерізу поглинання шлаків, що складають групу, істотно більшою за величину мікроперерізу поглинання 235U:
(σai)1гр >> σa5
Зрозуміло, що величина показника степеневої функції такого шлаку - велика величина, і (з погляду математика) степенева функція з дуже великим за абсолютною величиною від'ємним показником швидко досягає свого асимптотичного (у даному разі нульового) значення, а величина [(1- (1/a))((1 – z)a –1 – 1)] швидко досягає свого стаціонарного значення. Фізично це означає, що концентрація кожного зі шлаків першої групи швидко досягає свого стаціонарного значення й надалі не змінюється. Тому в основний час кампанії активної зони ( при z ≥ 0.03) можна вважати втрати реактивності від шлакування реактора шлаками першої групи постійними й такими, що приблизно дорівнюють
ρш1гр ≈ - 0.0151 θ. (16.2.11)
б) Друга група шлаків, що характеризуються величиною мікроперерізу поглинання, який за порядком величини збігається з перерізом поглинання урану-235:
σai ~ σa5
Концентрації шлаків цієї групи, що зростають у процесі кампанії, строго кажучи, за степеневим законом, у межах величин ступенів вигоряння, що мають фізичний зміст (z < 1), зростають настільки повільно, що при реальних величинах ступеня вигоряння урану-235 характер зростання втрат запасу реактивності від шлакування реактора шлаками цієї групи без особливої шкоди для точності можна вважати не степеневим, а лінійним відносно z:
ρш2гр ≈ - 0.0414 z θ (16.2.12)
причому протягом усієї кампанії.
σai << σa5
Шлаки третьої групи мають у переважній більшості дуже невеликі величини питомого виходу (γi), але це - найчисленніша група шлаків, і цим пояснюється їхній вплив на загальну величину втрат реактивності від сумарного шлакування. Степеневі функції наростання концентрацій цих шлаків (і втрат реактивності внаслідок шлакування реактора цими шлаками) зростають набагато повільніше, ніж експоненти шлаків другої групи, вони практично нерозрізнювані від прямих ліній, і тому з прийнятною точністю описуються лінійною залежністю:
ρш3гр ≈ - 0.0114 z θ (16.2.13)
Якісний характер зміни втрат запасу реактивності від шлакування реактора шлаками кожної з груп, а також сумарна крива втрат запасу реактивності від шлакування реактора всіма шлаками цих груп показані на рис.16.1.
а) Перша група шлаків (так звані сильні шлаки) характеризується величиною мікроперерізу поглинання шлаків, що складають групу, істотно більшою за величину мікроперерізу поглинання 235U:
(σai)1гр >> σa5
Зрозуміло, що величина показника степеневої функції такого шлаку - велика величина, і (з погляду математика) степенева функція з дуже великим за абсолютною величиною від'ємним показником швидко досягає свого асимптотичного (у даному разі нульового) значення, а величина [(1- (1/a))((1 – z)a –1 – 1)] швидко досягає свого стаціонарного значення. Фізично це означає, що концентрація кожного зі шлаків першої групи швидко досягає свого стаціонарного значення й надалі не змінюється. Тому в основний час кампанії активної зони ( при z ≥ 0.03) можна вважати втрати реактивності від шлакування реактора шлаками першої групи постійними й такими, що приблизно дорівнюють
ρш1гр ≈ - 0.0151 θ. (16.2.11)
б) Друга група шлаків, що характеризуються величиною мікроперерізу поглинання, який за порядком величини збігається з перерізом поглинання урану-235:
σai ~ σa5
Концентрації шлаків цієї групи, що зростають у процесі кампанії, строго кажучи, за степеневим законом, у межах величин ступенів вигоряння, що мають фізичний зміст (z < 1), зростають настільки повільно, що при реальних величинах ступеня вигоряння урану-235 характер зростання втрат запасу реактивності від шлакування реактора шлаками цієї групи без особливої шкоди для точності можна вважати не степеневим, а лінійним відносно z:
ρш2гр ≈ - 0.0414 z θ (16.2.12)
причому протягом усієї кампанії.
σai << σa5
Шлаки третьої групи мають у переважній більшості дуже невеликі величини питомого виходу (γi), але це - найчисленніша група шлаків, і цим пояснюється їхній вплив на загальну величину втрат реактивності від сумарного шлакування. Степеневі функції наростання концентрацій цих шлаків (і втрат реактивності внаслідок шлакування реактора цими шлаками) зростають набагато повільніше, ніж експоненти шлаків другої групи, вони практично нерозрізнювані від прямих ліній, і тому з прийнятною точністю описуються лінійною залежністю:
ρш3гр ≈ - 0.0114 z θ (16.2.13)
Якісний характер зміни втрат запасу реактивності від шлакування реактора шлаками кожної з груп, а також сумарна крива втрат запасу реактивності від шлакування реактора всіма шлаками цих груп показані на рис.16.1.
Зображення
Рис. 16.1. Якісний характер наростання втрат запасу реактивності внаслідок роздільного шлакування реактора шлаками трьох груп і крива сумарних втрат запасу реактивності від шлакування реактора всіма шлаками.
Ця крива втрат запасу реактивності від шлакування для будь-якого конкретного реактора може бути перерахована в криву залежності від енерговироблення реактора W, яке, зрозуміло, у розглянутому випадку є величиною, пропорційною ступеню вигоряння.
Таким чином, головний практичний висновок з усього розглянутого щодо шлакування реактора, який майбутньому операторові не завадить запам'ятати, такий:
Втрати запасу реактивності реактора від шлакування в процесі кампанії залежно від енерговироблення (або ступеня вигоряння урану-235) лише в самий початковий період кампанії (< 5% від номінального енерговироблення реактора) наростають нелінійно, що пояснюється відносно швидким зростанням концентрації кожного із сильних шлаків до їхніх стаціонарних концентрацій. Протягом решти кампанії вони зростають практично за лінійним законом від енерговироблення, ступеня вигоряння, а при постійному рівні потужності реактора - і в часі.
Цей висновок має практичне значення при виконанні деяких експлуатаційних розрахунків, у чому нам доведеться пересвідчитися в майбутньому.
Ця крива втрат запасу реактивності від шлакування для будь-якого конкретного реактора може бути перерахована в криву залежності від енерговироблення реактора W, яке, зрозуміло, у розглянутому випадку є величиною, пропорційною ступеню вигоряння.
Таким чином, головний практичний висновок з усього розглянутого щодо шлакування реактора, який майбутньому операторові не завадить запам'ятати, такий:
Втрати запасу реактивності реактора від шлакування в процесі кампанії залежно від енерговироблення (або ступеня вигоряння урану-235) лише в самий початковий період кампанії (< 5% від номінального енерговироблення реактора) наростають нелінійно, що пояснюється відносно швидким зростанням концентрації кожного із сильних шлаків до їхніх стаціонарних концентрацій. Протягом решти кампанії вони зростають практично за лінійним законом від енерговироблення, ступеня вигоряння, а при постійному рівні потужності реактора - і в часі.
Цей висновок має практичне значення при виконанні деяких експлуатаційних розрахунків, у чому нам доведеться пересвідчитися в майбутньому.