Ми вже вивчали деякі властивості великого числа атомів, що стикаються один з одним. Наука, яка цим займається, називається кінетичною теорією; вона описує властивості речовини, розглядаючи, як стикаються атоми. Ми стверджуємо, що всі властивості речовини в цілому можна пояснити, розглядаючи рух окремих її частин.
Поки що обмежимося випадком теплової рівноваги, тобто лише підкласом усіх явищ природи. Закони механіки, застосовувані в умовах теплової рівноваги, дістали назву статистичної механіки, і в цьому розділі ви трохи ознайомитеся з деякими основними теоремами цієї науки.
Одна теорема статистичної механіки вам уже відома. Згідно з цією теоремою, для будь-якого руху за абсолютної температури T середня кінетична енергія кожного незалежного руху (кожного ступеня вільності) дорівнює 1/2kT. Після цього нам стає дещо відомо про середній квадрат швидкості атомів. Тепер нам необхідно дізнатися трохи більше про координати атомів, щоб з'ясувати, чи багато їх перебуває за теплової рівноваги в тій чи іншій точці простору, а також трохи докладніше вивчити розподіл атомів за швидкостями. Хоча ми знаємо, чому дорівнює середній квадрат швидкості, ми все ж не можемо відповісти на запитання, скільки атомів мають швидкість, утричі більшу за корінь із середнього квадрата швидкості, або швидкість, що дорівнює одній четвертій кореня із середнього квадрата швидкості. А раптом усі атоми мають однакову швидкість?
Отже, ось два запитання, на які ми спробуємо дати відповідь: 1) Як атоми розташовуються в просторі, коли на них діють сили? 2) Яким є розподіл атомів за швидкостями?
Зауважимо, що це два цілком незалежних запитання і що розподіл за швидкостями завжди однаковий. Цього можна було очікувати після того, як ми з'ясували, що середня кінетична енергія ступеня вільності завжди дорівнює 1/2 kТ, незалежно від того, які сили діють на молекули. Розподіл молекул за швидкостями не залежить від сил, тому що сили не впливають на частоту зіткнень.
Почнімо з прикладу розподілу молекул в атмосфері, подібній до тієї, в якій ми живемо, але без вітру чи будь-яких інших збурень.
Припустімо, що ми маємо справу з доволі високим стовпом газу, що перебуває в тепловій рівновазі (не так, як у справжній атмосфері; у ній, як відомо, з підйомом угору стає холодніше). Зазначимо тут, що порушення рівноваги в разі різниці температур на різних висотах можна продемонструвати, помістивши у стовп газу металевий стрижень так, щоб його кінці дотикалися до маленьких кульок (фіг. 40.1). Нижні кульки, отримуючи від молекул газу енергію 1/2kТ, передають її через стрижень верхнім кулькам і струшують їх; верхні кульки, своєю чергою, струшуватимуть молекули, що дотикаються до них зверху. Врешті-решт, звісно, температура на різних висотах гравітаційного поля стане однаковою.
Нам належить знайти закон, за яким відбувається розрідження атмосфери з підйомом угору, коли температура на всіх висотах однакова. Якщо N — повне число молекул в об'ємі V газу з тиском Р, то PV = NkT, або Р = nkТ, де n — число молекул в одиничному об'ємі. Інакше кажучи, якщо відоме число молекул в одиничному об'ємі, то відомий і тиск, і навпаки: тиск і густина пропорційні одне одному, адже температура в нашому випадку стала. Але тиск не може бути сталим: зі зменшенням висоти він повинен зростати, тому що нижньому шару доводиться, так би мовити, витримувати вагу всіх розташованих зверху атомів. Тепер можна визначити, як тиск змінюється з висотою. Якщо на висоті h виділити майданчик одиничної площі, то на цей майданчик знизу діятиме сила, яка дорівнює тиску Р. Якби не було сили тяжіння, то на майданчик на висоті h + dh діяла б згори вниз точно така сама сила. Але в нашому випадку це не так: сила, що діє знизу, повинна перевищувати силу, що діє зверху, на величину, яка дорівнює вазі газу, укладеного між шарами h і h + dh. На кожну молекулу діє сила тяжіння mg, де g — прискорення вільного падіння. У шарі, що нас цікавить, міститься ndh молекул. Це приводить до такого диференціального рівняння: Ph+dh— Ph = dP = —mgndh. Оскільки Р = nkТ, а T—стала, то можна позбутися або Р, або n. Виключимо з рівнянь Р; тоді отримаємо
Припустімо, що ми маємо справу з доволі високим стовпом газу, що перебуває в тепловій рівновазі (не так, як у справжній атмосфері; у ній, як відомо, з підйомом угору стає холодніше). Зазначимо тут, що порушення рівноваги в разі різниці температур на різних висотах можна продемонструвати, помістивши у стовп газу металевий стрижень так, щоб його кінці дотикалися до маленьких кульок (фіг. 40.1). Нижні кульки, отримуючи від молекул газу енергію 1/2kТ, передають її через стрижень верхнім кулькам і струшують їх; верхні кульки, своєю чергою, струшуватимуть молекули, що дотикаються до них зверху. Врешті-решт, звісно, температура на різних висотах гравітаційного поля стане однаковою.
Нам належить знайти закон, за яким відбувається розрідження атмосфери з підйомом угору, коли температура на всіх висотах однакова. Якщо N — повне число молекул в об'ємі V газу з тиском Р, то PV = NkT, або Р = nkТ, де n — число молекул в одиничному об'ємі. Інакше кажучи, якщо відоме число молекул в одиничному об'ємі, то відомий і тиск, і навпаки: тиск і густина пропорційні одне одному, адже температура в нашому випадку стала. Але тиск не може бути сталим: зі зменшенням висоти він повинен зростати, тому що нижньому шару доводиться, так би мовити, витримувати вагу всіх розташованих зверху атомів. Тепер можна визначити, як тиск змінюється з висотою. Якщо на висоті h виділити майданчик одиничної площі, то на цей майданчик знизу діятиме сила, яка дорівнює тиску Р. Якби не було сили тяжіння, то на майданчик на висоті h + dh діяла б згори вниз точно така сама сила. Але в нашому випадку це не так: сила, що діє знизу, повинна перевищувати силу, що діє зверху, на величину, яка дорівнює вазі газу, укладеного між шарами h і h + dh. На кожну молекулу діє сила тяжіння mg, де g — прискорення вільного падіння. У шарі, що нас цікавить, міститься ndh молекул. Це приводить до такого диференціального рівняння: Ph+dh— Ph = dP = —mgndh. Оскільки Р = nkТ, а T—стала, то можна позбутися або Р, або n. Виключимо з рівнянь Р; тоді отримаємо
Зображення
Це диференціальне рівняння говорить нам, як спадає густина зі збільшенням висоти.
Тепер ми маємо диференціальне рівняння для густини частинок n, яка змінюється з висотою, але змінюється так, що похідна густини пропорційна їй самій. Функція, похідна якої пропорційна їй самій,— це експоненційна функція, а отже, розв'язок диференціального рівняння має вигляд
Зображення
Тут стала інтегрування n0— густина на висоті h = 0 (яку можна задати довільно); з висотою густина експоненційно спадає.
Зауважимо, що якщо є кілька сортів молекул з різними масами, то їхнє число спадає за різними експонентами. Число важчих молекул спадає з висотою швидше, ніж число легких молекул. Тому можна було б очікувати, що оскільки кисень важчий за азот, то з підйомом угору відносний вміст азоту в атмосфері (суміші азоту й кисню) зростатиме. У нашій атмосфері, у всякому разі на доступних висотах, цього фактично не відбувається, бо внаслідок повітряних збурень гази знову перемішуються. Адже це не ізотермічна атмосфера. Проте на великих висотах переважають дуже легкі гази, наприклад водень, оскільки молекули легких газів здатні залізти на таку висоту, де всі інші експоненти вже вимруть (фіг. 40.2).
Зауважимо, що якщо є кілька сортів молекул з різними масами, то їхнє число спадає за різними експонентами. Число важчих молекул спадає з висотою швидше, ніж число легких молекул. Тому можна було б очікувати, що оскільки кисень важчий за азот, то з підйомом угору відносний вміст азоту в атмосфері (суміші азоту й кисню) зростатиме. У нашій атмосфері, у всякому разі на доступних висотах, цього фактично не відбувається, бо внаслідок повітряних збурень гази знову перемішуються. Адже це не ізотермічна атмосфера. Проте на великих висотах переважають дуже легкі гази, наприклад водень, оскільки молекули легких газів здатні залізти на таку висоту, де всі інші експоненти вже вимруть (фіг. 40.2).