Розподіл молекул за швидкостями

Обговорімо тепер розподіл молекул за швидкостями, тому що цікаво, а іноді й корисно знати, яка частина молекул рухається з тією чи іншою швидкістю. Щоб з'ясувати це, можна скористатися тими знаннями, які ми здобули, вивчаючи розподіл газу в атмосфері. Ми вважаємо газ ідеальним; ми припускали це, нехтуючи взаємним притяганням атомів при обчисленні потенціальної енергії. У нашому першому прикладі ми врахували лише потенціальну енергію сили тяжіння. Якби між атомами існували взаємні сили, то нам, звісно, довелося б написати щось складніше. Але ми, як і раніше, припускатимемо, що між атомами немає жодних сил, і на мить навіть забудемо про зіткнення; потім ми спробуємо знайти цьому виправдання. Ми бачимо, що на висоті h міститься набагато менше молекул, ніж на висоті 0 (фіг. 40.4); згідно з формулою (40.1), їхнє число експоненційно спадає з висотою. Але чому ж на більшій висоті менше молекул? Хіба не всі молекули, що живуть на висоті 0, опиняються на висоті h? Ні! Тому що на висоті 0 є молекули, які рухаються надто повільно, і вони не здатні здертися на потенціальну гору до висоти h. Ось і ключ до розв'язання задачі про розподіл молекул за швидкостями; адже, знаючи рівність (40.1), ми знаємо число молекул, швидкість яких надто мала для досягнення висоти h. Їх рівно стільки, щоб створити потрібне падіння густини при збільшенні h. Сформулюймо все точніше: підрахуємо, скільки молекул проходить знизу вгору через площину h=0 (називаючи заданий рівень нульовою висотою, ми зовсім не вважаємо, що тут підлога, просто так нам зручніше для початку відліку, і на від'ємній висоті може міститися газ). Ці молекули газу рухаються в усіх напрямках, і деякі з них проходять через нашу площину; таким чином, у будь-який момент крізь площину знизу вгору проходить певне число молекул за секунду із заданою швидкістю. Далі зазначимо таке: якщо через u позначити швидкість, потрібну для того, щоб піднятися на висоту h (кінетична енергія mu²/2 = mgh), то число молекул за секунду, які піднімаються з нижньої площини строго вгору і мають складову швидкості, більшу ніж u, точно дорівнює числу молекул, що перетинають верхню площину з будь-якою вертикальною складовою швидкості. Ті молекули, вертикальна швидкість яких не перевищує u, не досягають верхньої площини. Таким чином,

Але число молекул, що перетинають h з будь-якою швидкістю, більшою за нуль, менше за число молекул, що перетинають нижній рівень з будь-якою швидкістю, більшою за нуль, хоча б тому, що внизу більше атомів. Ось і все, що нам потрібно. Ми вже знаємо, що розподіл молекул за швидкостями на всіх висотах однаковий, адже ми вже з'ясували, що температура в усій атмосфері однакова. Але оскільки розподіл швидкостей усюди однаковий, а число атомів, що перетинають нижній рівень, більше, то зрозуміло, що відношення n_>0(h) (числа атомів, що перетинають висоту h з додатною швидкістю) і n_>0(0) (числа атомів, що перетинають з додатною швидкістю висоту 0) дорівнює відношенню густин на цих висотах, тобто exp(–mgh/kT). Але n_>0(h) = h_>u(0), тому

оскільки ¹/₂mu²=mgh. Тепер скажімо це своїми словами: число молекул, що перетинають за 1 с одиничну площу на висоті 0 з вертикальною складовою швидкості, яка перевищує u, дорівнює добутку числа молекул, що перетинають цю площадку зі швидкістю, більшою за нуль, на exp(–mu²/2kТ). Це правильно не лише для довільної висоти 0, а й для будь-якої іншої висоти, тому розподіл за швидкостями однаковий усюди! (Кінцевий результат не включає висоти h, вона з'являється лише в проміжних міркуваннях.) Це загальна теорема про розподіл за швидкостями. У ній стверджується, що якщо в стовпі газу просвердлити крихітну дірочку, ну зовсім манюсіньку, так щоб зіткнення там були рідкісні й довжина пробігу молекул між зіткненнями була набагато більша за діаметр дірочки, то молекули вилітатимуть з неї з різними швидкостями, але частка частинок, що вилітають зі швидкістю, більшою за u, дорівнює exp(– mu²/2kT). Тепер повернімося до питання про те, чи можна нехтувати зіткненнями. Чому це не має значення? Ми могли б повторити всі наші міркування, використовуючи не скінченну висоту h, а нескінченно малу висоту h, настільки малу, що для зіткнень між висотами 0 і h було б надто мало місця. Але це не обов'язково: наші міркування, очевидно, ґрунтуються лише на аналізі значень енергій і на збереженні енергії; при зіткненнях же відбувається обмін енергіями між молекулами. Але нам доволі байдуже, чи стежимо ми за однією й тією самою молекулою, оскільки відбувається лише обмін енергіями з іншою молекулою. І виходить, що навіть якщо ми зробимо це достатньо ретельно (а таку роботу ретельно виконати, звісно, важче), результат буде той самий. Цікаво, що знайдений нами розподіл за швидкостями має вигляд

Цей спосіб опису розподілу за швидкостями — коли підраховується число молекул, що проходять через виділену площадку із заданою мінімальною z-складовою швидкості,— аж ніяк не найзручніший. Наприклад, частіше хочуть знати, скільки молекул у заданому об'ємі газу рухається, маючи z-складову швидкості між двома заданими значеннями, а це, звісно, з (40.4) одразу не отримаєш. Тому надамо нашій формулі зручнішої форми, хоча те, що ми отримали, — це доволі загальний результат. Зауважимо, що неможливо стверджувати, що будь-яка молекула точно має ту чи іншу наперед задану швидкість; жодна з них не рухається зі швидкістю, точно рівною 1,7962899173 м/с. Отже, щоб надати нашому твердженню якогось сенсу, ми повинні запитати, скільки молекул можна знайти в заданому інтервалі швидкостей. Нам доведеться говорити про те, як часто трапляються швидкості в інтервалі між 1,796 і 1,797 і т. п. Виражаючись математично, нехай f(u)du буде часткою всіх молекул, чиї швидкості лежать у проміжку u і u + du, або, що те саме (якщо du нескінченно мале), часткою всіх молекул, які мають швидкість u з точністю до du. На фіг. 40.5 представлено можливу форму функції f(u), а заштрихована частина шириною du і середньою висотою f(u) — це частка молекул f(u)du. Таким чином, відношення площі заштрихованої ділянки до всієї площі під кривою дорівнює відносному числу молекул зі швидкістю u всередині відрізка du. Якщо визначити f(u) так, що відносне число молекул буде просто дорівнювати площі заштрихованої ділянки, то повна площа під кривою — це всі 100% молекул, тобто

Тепер залишається тільки знайти цей розподіл, порівнявши його з результатом доведеної раніше теореми. Спершу треба з'ясувати, як виразити через f(u) число молекул, що проходять за 1 с через задану площадку зі швидкістю, яка перевищує u? Це число не дорівнює інтегралу _u^∞∫ f(u) du (хоча це перше, що спадає на думку), адже нас цікавить число молекул, що проходять через площадку за секунду. Швидші молекули перетинатимуть площадку, так би мовити, частіше, ніж повільніші, тому, щоб знайти число молекул, що проходять, треба помножити густину молекул на швидкість. (Ми вже обговорювали це в попередньому розділі, коли підраховували число зіткнень.) Повне число молекул, що проходять через поверхню за час t, дорівнює числу молекул, здатних досягти поверхні, а це молекули, що проходять до поверхні з відстані ut. Таким чином, число молекул, що досягають площадки, визначається не просто числом молекул, які рухаються з даною швидкістю, а дорівнює цьому числу, віднесеному до одиниці об'єму, і помноженому на відстань, яку вони пройдуть, перш ніж досягнуть площадки, крізь яку вони, вочевидь, повинні пройти, а ця відстань пропорційна u. Отже, нам належить обчислити інтеграл від добутку u на f(u)du, взятий від u до нескінченності, причому ми вже знаємо, що цей інтеграл обов'язково повинен бути пропорційним exp(–mu²/2kТ), а сталу пропорційності ще треба визначити:

Якщо тепер продиференціювати інтеграл за u, то ми отримаємо підінтегральний вираз (зі знаком мінус, тому що u — це нижня межа інтегрування), а диференціюючи праву частину рівності, ми отримаємо добуток u на експоненту (і на деяку сталу). Скоротимо в обох частинах u, і тоді

Ми залишили в обох частинах рівності du, щоб пам'ятати, що це розподіл; він говорить нам про відносне число молекул, які мають швидкість між u і u + du. Стала С повинна визначитися з умови рівності інтеграла одиниці згідно з рівнянням (40.5). Можна довести, що

Використовуючи цю обставину, легко знайти С = √ m/2πkТ. Оскільки швидкість і імпульс пропорційні, можна стверджувати, що розподіл молекул за імпульсами, віднесений до одиниці імпульсної шкали, також пропорційний exp(–к.е./kТ). Виявляється, що ця теорема правильна також у теорії відносності, якщо тільки формулювати її в термінах імпульсів, тоді як у термінах швидкостей це вже не так; тому сформулюємо все в термінах імпульсів:

Це означає, що ми встановили, що ймовірності, які визначаються енергіями різного походження (і кінетичної, і потенціальної), в обох випадках виражаються однаково: exp(–енергія/kT); таким чином, наша чудова теорема набула форми, дуже зручної для запам'ятовування. Однак поки що ми говорили тільки про «вертикальний» розподіл швидкостей. Але ми можемо запитати, якою є ймовірність того, що молекула рухається в інший бік? Звісно, ці розподіли пов'язані один з одним, і можна отримати повний розподіл, виходячи з якогось одного, адже повний розподіл залежить тільки від квадрата величини швидкості, а не від її z-складової. Розподіл за швидкостями не повинен залежати від напрямку і повинен визначатися лише функцією u²—ймовірністю величини швидкості. Нам відомий розподіл z-складової, і ми хочемо отримати звідси розподіл інших складових. У результаті повний розподіл, як і раніше, пропорційний exp(— к.е./kТ), тільки тепер кінетична енергія складається з трьох частин: mv_x²/2, mv_y²/2 і mv_z²/2, які підсумовуються в показнику експоненти. А можна записати це і у вигляді добутку:

Ви можете переконатися в тому, що ця формула правильна, бо, по-перше, розподіл залежить тільки від v², і, по-друге, ймовірності заданих v_z виходять після інтегрування за всіма v_x і v_y, і це повинно привести до (40.7). Але обом цим вимогам задовольняє тільки функція (40.9).