У менш елементарній статистичній механіці намагаються розв'язати таку важливу задачу. Припустімо, що є сукупність молекул, які притягуються одна до одної, і сила між будь-якими двома молекулами, скажімо i-ю і j-ю, залежить тільки від відстані між ними rij і може бути подана у вигляді похідної від потенціальної енергії V(rij). На фіг. 40.3 показано можливий вигляд такої функції. Якщо r>r0, то при зближенні молекул енергія зменшується, тому молекули притягуються; якщо ж молекули зближуються ще тісніше, енергія дуже різко зростає, а отже, на малих відстанях молекули сильно відштовхуються. Такою є загалом поведінка молекул.
Припустімо тепер, що ми заповнили цими молекулами якийсь ящик і хочемо знати, як вони там розміститимуться в середньому. Відповідь на це дає вираз exp (–п.е./kT). У цьому випадку повна потенціальна енергія, якщо припустити, що молекули взаємодіють лише попарно, дорівнює сумі всіх парних енергій (у складніших випадках можуть трапитися й потрійні сили, але електричні сили, наприклад, парні). Тому ймовірність того, що молекули утворять конфігурацію, яка характеризується заданими комбінаціями відстаней rij, пропорційна
Зображення
Якщо температура дуже висока, так що kT»|V(r0)|,то експонента майже всюди мала, і ймовірність знайти молекулу в тому чи іншому місці майже не залежить від відстані до інших молекул. Розглянемо випадок двох молекул; у цьому випадку exp (—п.е./kТ) буде ймовірністю знайти молекули на відстані r одна від одної. Зрозуміло, що ймовірність максимальна тоді, коли потенціал найбільш від'ємний, а коли потенціал прямує до нескінченності, ймовірність майже дорівнює нулю (це відбувається на дуже малих відстанях). Це означає, що в атомів газу немає шансів зіткнутися один з одним, надто вже сильно вони відштовхуються. Але дуже великі шанси знайти ці молекули (якщо віднести ймовірність до одиничного об'єму) поблизу точки r0. Тут ймовірність більша, ніж в інших точках, але наскільки більша — це залежить від температури. Якщо температура дуже велика порівняно з різницею енергій у точках r = r0 і r = ∞, то експонента завжди майже дорівнює одиниці. Це випадок, коли середня кінетична енергія (вона порядку kT) значно перевищує потенціальну енергію. Сили тоді мало що важать. Але з падінням температури ймовірність знайти молекули на відстані, близькій до r0, різко зростає порівняно з імовірністю знайти молекули в будь-якому іншому місці; і справді, якщо kТ набагато менше за |V(r0)|, то поблизу r0 експонента має доволі великий додатний показник. Іншими словами, за заданого об'єму молекули воліють бути на відстані мінімальної енергії, а не дуже далеко одна від одної. З падінням температури атоми зближуються, збиваються в купу, об'єднуються в рідини, у тверді тіла й молекули, а якщо їх підігріти, то вони випаровуються.
Якщо буває потрібно точно описати, як відбувається випаровування, або взагалі уточнити, як молекули поводяться за даних обставин, то діяти слід так. Передусім потрібно якомога точніше дізнатися закон взаємодії молекул V(r). Як це зробити — байдуже: можна обчислити потенціал за допомогою квантової механіки або встановити закон взаємодії експериментально. Але навіть якщо закон взаємодії молекул відомий, потрібно все ж врахувати, що йдеться про мільйони молекул, і нам ще доведеться натерпітися лиха під час вивчення функції exp(–∑Vij /kТ). Все ж дивно, що функція така проста і все ніби ясно, оскільки відомий точний потенціал взаємодії, а справа ця виявляється неймовірно складною: труднощі полягають у страхітливо великому числі змінних.
Але питання захопливо цікаве. Це один із прикладів того, що називають «задачею багатьох тіл», і він містить чимало по-справжньому захопливих речей. Одна-єдина формула, яку ми отримаємо, розв'язавши задачу, повинна містити всі деталі, наприклад перехід газу у твердий стан або можливі кристалічні будови твердого тіла. Багато хто намагався її обчислити, але математичні труднощі надто вже великі, і річ не в складності виведення загального закону, а просто в тому, щоб впоратися з величезним числом змінних.
Ось і все, що стосується розподілу частинок у просторі. На цьому, власне, і закінчується класична статистична механіка, бо якщо нам відомі сили, то в принципі ми можемо знайти просторовий розподіл, а розподіл швидкостей знаходиться одразу на всі випадки життя, він не змінюватиметься від випадку до випадку. Основне завдання полягає в отриманні конкретнішої інформації з нашого формального розв'язку: саме це і є головним заняттям класичної статистичної механіки.