Електронна поляризація

Перший доданок — це добуток маси електрона на його прискорення, а другий — повертальна сила; праворуч стоїть сила, що діє з боку зовнішнього електричного поля. Якщо електричне поле змінюється з частотою ω, то рівняння (11.2) допускає  розв'язок

що має резонанс при ω = ω₀. Коли раніше ми знайшли цей розв'язок, то інтерпретували ω₀ як частоту, при якій атом поглинає світло (вона лежить або в оптичній, або в ультрафіолетовій області, залежно від атома). Для нашої мети, однак, досить випадку постійних полів, тобто ω = 0; тому ми можемо знехтувати доданком із прискоренням у (11.2) і одержуємо зміщення

Звідси знаходимо дипольний момент p одного атома

У такому підході дипольний момент p справді пропорційний електричному полю.
 
Зазвичай пишуть

(Знову ε₀ увійшло з історичних причин.) Стала α називається поляризовністю атома і має розмірність L³. Це міра того, наскільки легко індукувати електричним полем дипольний момент в атома. Порівнюючи (11.5) і (11.6), одержуємо, що в нашій простій теорії

Якщо в одиниці об'єму міститься N атомів, то поляризація (дипольний момент одиниці об'єму) дається формулою

Об'єднуючи (11.1) і (11.8), одержуємо

або внаслідок (11.7)

За допомогою рівняння (11.9) можна передбачити, що діелектрична проникність х різних газів має залежати від густини газу і від резонансної частоти ω₀.
 
Наша формула, звісно, лише дуже грубе наближення, тому що в рівнянні (11.2) ми скористалися моделлю, яка ігнорує тонкощі квантової механіки. Наприклад, ми вважали, що атом має лише одну резонансну частоту, тоді як насправді їх багато. Щоб по-справжньому обчислити поляризовність атомів, треба скористатися послідовною квантовомеханічною теорією, однак і викладений вище класичний підхід дає цілком розумну оцінку.
 
 
Подивимося, чи зможемо ми отримати правильний порядок величини діелектричної проникності якоїсь речовини. Візьмемо, наприклад, водень. Ми вже оцінювали (вип. 4, розд. 38) енергію, потрібну для іонізації атома водню, і одержали приблизно

Щоб оцінити власну частоту ω₀, можна прирівняти цю енергію до hω₀— енергії атомного осцилятора з власною частотою ω₀. Одержуємо

Користуючись цією величиною в рівнянні (11.7), знаходимо електронну поляризовність

Величина (h²/me²) є радіусом основної орбіти атома Бора (див. вип. 4, розд. 38), що дорівнює 0,528 А. При нормальному тиску й температурі (1 атм, 0°С) у газі на 1 см³ припадає 2,69·10¹⁹ атомів, і рівняння (11.9) дає

Виміряна на досліді діелектрична  проникність дорівнює

Бачите, наша теорія майже правильна. Кращого не можна було й очікувати, тому що вимірювання проводилися, звісно, зі звичайним воднем, який має двоатомні молекули, а не поодинокі атоми. Не варто дивуватися тому, що поляризація атомів у молекулі не зовсім така, як поляризація окремих атомів. Насправді молекулярний ефект не такий уже й великий. Точне квантовомеханічне обчислення величини α для атомів водню дає результат, що перевищує (11.12) приблизно на 12% (замість 16π виходить 18π), тому він передбачає для діелектричної проникності значення, ближче до спостереженого. У всякому разі, цілком очевидно, що наша модель діелектрика цілком хороша.
 
Ще одна перевірка нашої теорії. Спробуємо застосувати рівняння (11.12) до атомів із більшою частотою збудження. Наприклад, щоб відібрати електрон у гелію, потрібно 24,5 В, тоді як для іонізації водню необхідно 13,5 В. Тому ми припустимо, що частота поглинання ω₀ для гелію має бути приблизно вдвічі більшою, ніж для водню, а α має бути меншою вчетверо. Ми очікуємо, що

а експериментально одержано

так що наші грубі оцінки показують, що ми на правильному шляху. Отже, ми зрозуміли діелектричну проникність неполярного газу, але лише якісно, тому що поки що ми ще не скористалися правильною атомною теорією руху атомних  електронів.
Займемося спочатку поляризацією неполярних молекул. Почнемо з найпростішого випадку одноатомного газу (наприклад, гелію). Коли атом такого газу перебуває в електричному полі, його електрони тягнуться в один бік, а ядро — в інший, як показано на рис. 10.4. Хоча атоми мають дуже велику жорсткість щодо електричних сил, які ми можемо прикласти до них на досліді, центри зарядів трохи зміщуються один відносно одного і індукується дипольний момент. У слабких полях величина зміщення, а отже, і дипольного моменту пропорційна напруженості електричного поля. Зміщення електронного розподілу, яке приводить до цього типу індукованого дипольного моменту, називається електронною поляризацією.
 
Ми вже обговорювали дію електричного поля на атом у розд. 31 (вип. 3), коли займалися теорією показника заломлення. Трохи подумавши, ви зметикуєте, що тепер треба зробити те саме, що й тоді. Тільки тепер нас цікавлять поля, що не змінюються з часом, тоді як показник заломлення був пов'язаний із полями, що залежать від часу.
 
У розд. 31 (вип. 3) ми припускали, що центр електронного заряда атома, поміщеного в осцилювальне електричне поле, підпорядковується рівнянню