Одним із найбільш чудових і хвилюючих відкриттів останніх років стало застосування фізики твердого тіла до технічної розробки низки електричних пристроїв, таких, як транзистори. Вивчення напівпровідників привело до відкриття їхніх корисних властивостей і безлічі практичних застосувань. У цій галузі все змінюється так швидко, що розказане вам сьогодні може через рік виявитися вже невірним або, у всякому разі, неповним. І цілком зрозуміло, що, детальніше вивчивши такі речовини, ми з часом зуміємо здійснити куди більш дивовижні речі. Матеріал цього розділу вам не знадобиться для розуміння наступних розділів, але вам, ймовірно, буде цікаво переконатися, що принаймні дещо з того, що ви вивчили, якимось чином все ж пов'язане з практичною справою.
Напівпровідників відомо чимало, але ми обмежимося тими, які найбільше застосовуються сьогодні в техніці. До того ж вони й вивчені краще за інших, тож розібравшись у них, ми певною мірою зрозуміємо й багато інших. Найширше застосовувані нині напівпровідникові речовини — це кремній і германій. Ці елементи кристалізуються в ґратці алмазного типу — у такій кубічній структурі, в якій атоми мають четверний (тетраедральний) зв'язок зі своїми найближчими сусідами. За дуже низьких температур (поблизу абсолютного нуля) вони є ізоляторами, хоча за кімнатної температури вони трохи проводять електрику. Це не метали; їх називають напівпровідниками.
Якщо якимось чином у кристал кремнію або германію за низької температури ми введемо додатковий електрон, то виникне те, що описано в попередньому розділі. Такий електрон почне блукати кристалом, перестрибуючи з місця, де стоїть один атом, на місце, де стоїть інший. Ми розглянули лише поведінку атома в прямокутній ґратці, а для реальної ґратки кремнію або германію рівняння були б іншими. Але все суттєве може стати зрозумілим уже з результатів для прямокутної ґратки.
Як ми бачили в розд. 11, у цих електронів енергії можуть перебувати лише у визначеній смузі значень, яку називають зоною провідності. У цій зоні енергія пов'язана з хвильовим числом k амплітуди ймовірності C [див. (11.24)] формулою
Напівпровідників відомо чимало, але ми обмежимося тими, які найбільше застосовуються сьогодні в техніці. До того ж вони й вивчені краще за інших, тож розібравшись у них, ми певною мірою зрозуміємо й багато інших. Найширше застосовувані нині напівпровідникові речовини — це кремній і германій. Ці елементи кристалізуються в ґратці алмазного типу — у такій кубічній структурі, в якій атоми мають четверний (тетраедральний) зв'язок зі своїми найближчими сусідами. За дуже низьких температур (поблизу абсолютного нуля) вони є ізоляторами, хоча за кімнатної температури вони трохи проводять електрику. Це не метали; їх називають напівпровідниками.
Якщо якимось чином у кристал кремнію або германію за низької температури ми введемо додатковий електрон, то виникне те, що описано в попередньому розділі. Такий електрон почне блукати кристалом, перестрибуючи з місця, де стоїть один атом, на місце, де стоїть інший. Ми розглянули лише поведінку атома в прямокутній ґратці, а для реальної ґратки кремнію або германію рівняння були б іншими. Але все суттєве може стати зрозумілим уже з результатів для прямокутної ґратки.
Як ми бачили в розд. 11, у цих електронів енергії можуть перебувати лише у визначеній смузі значень, яку називають зоною провідності. У цій зоні енергія пов'язана з хвильовим числом k амплітуди ймовірності C [див. (11.24)] формулою
Зображення
Різні A — це амплітуди стрибків у напрямках х, у і z, а a, b, с — це сталі ґратки (інтервали між вузлами) у цих напрямках.
Для енергій біля дна зони формулу (12.1) можна приблизно записати так:
Для енергій біля дна зони формулу (12.1) можна приблизно записати так:
Зображення
(див. розд. 11, § 4).
Якщо нас цікавить рух електрона в якомусь визначеному напрямку, так що відношення компонент k увесь час одне й те саме, то енергія є квадратичною функцією хвильового числа і, отже, імпульсу електрона. Можна написати
Якщо нас цікавить рух електрона в якомусь визначеному напрямку, так що відношення компонент k увесь час одне й те саме, то енергія є квадратичною функцією хвильового числа і, отже, імпульсу електрона. Можна написати
Зображення
де α — деяка стала, і накреслити графік залежності E від k (фіг. 12.1). Такий графік ми будемо називати «енергетичною діаграмою». Електрон у визначеному стані енергії та імпульсу можна на такому графіку зобразити точкою (S на малюнку).Ми вже згадували в розд. 11, що таке саме становище виникне, якщо ми приберемо електрон з нейтрального ізолятора. Тоді на це місце зможе перестрибнути електрон від сусіднього атома. Він заповнить «дірку», а сам залишить на тому місці, де стояв, нову «дірку». Таку поведінку ми можемо описати, задавши амплітуду того, що дірка опиниться біля даного визначеного атома, і кажучи, що дірка може стрибати від атома до атома. (Причому зрозуміло, що амплітуда A того, що дірка перестрибує від атома a до атома b, точно дорівнює амплітуді того, що електрон від атома b стрибає в дірку від атома а.)
Математика для дірки така сама, як для додаткового електрона, і ми знову виявляємо, що енергія дірки пов'язана з її хвильовим числом рівнянням, яке точно збігається з (12.1) і (12.2), але, звісно, з іншими числовими значеннями амплітуд Аx, Ay і Аz. У дірки теж є енергія, пов'язана з хвильовим числом її амплітуд ймовірності. Енергія її лежить у деякій обмеженій зоні і біля дна зони квадратично змінюється зі зростанням хвильового числа (або імпульсу) так само, як на фіг. 12.1. Повторюючи наші міркування розд. 11, § 3, ми виявимо, що дірка теж поводиться як класична частинка з якоюсь визначеною ефективною масою, з тією лише різницею, що в некубічних кристалах маса залежить від напрямку руху. Отже, дірка нагадує частинку з позитивним зарядом, що рухається крізь кристал. Заряд частинки-дірки позитивний, тому що вона зосереджена в тому місці, де немає електрона; і коли вона рухається в якийсь бік, то насправді це в протилежний бік рухаються електрони.
Якщо в нейтральний кристал помістити кілька електронів, то їхній рух буде дуже схожий на рух атомів у газі, що перебуває під низьким тиском. Якщо їх не надто багато, їхньою взаємодією можна знехтувати. Якщо потім прикласти до кристала електричне поле, то електрони почнуть рухатися і потече електричний струм. У принципі вони повинні опинитися на краю кристала і, якщо там є металевий електрод, перейти на нього, залишивши кристал нейтральним.
Точно так само в кристал можна було б ввести безліч дірок. Вони б почали всюди блукати як завгодно. Якщо прикласти електричне поле, то вони потечуть до негативного електрода і потім їх можна було б «зняти» з нього, що й відбувається, коли їх нейтралізують електрони з металевого електрода.
Електрони і дірки можуть опинитися в кристалі одночасно. Якщо їх знову не дуже багато, то мандрувати вони будуть незалежно. В електричному полі всі вони даватимуть свій внесок у загальний струм. З очевидної причини електрони називають негативними носіями, а дірки — позитивними носіями.
Досі ми вважали, що електрони внесено в кристал ззовні або (для утворення дірки) видалено з нього. Але можна також «створити» пару електрон—дірка, видаливши з нейтрального атома зв'язаний електрон і помістивши його в тому самому кристалі на певній відстані. Тоді в нас утворяться вільний електрон і вільна дірка, і рух їх буде таким, як ми описали.
Енергія, необхідна для того, щоб помістити електрон у стан S (ми кажемо: щоб «створити» стан S),— це енергія E¯, показана на фіг.12.2. Це деяка енергія, що перевищує Е¯мін. Енергія, необхідна для того, щоб «створити» дірку в якомусь стані S′,— це енергія Е+ (фіг. 12.3), яка на якусь частку вища, ніж E (=E+мін).
А щоб створити пару в станах S і S′, знадобиться просто енергія E¯ + Е +.Утворення пар — це, як ми побачимо пізніше, дуже частий процес, і багато людей воліють поміщати фіг. 12.2 і 12.3 на одне креслення, причому енергію дірок відкладають вниз, хоча, звісно, ця енергія позитивна. На фіг. 12.4 ми об'єднали ці два графіки. Перевага такого графіка в тому, що енергія Eпари =E¯ + Е +, потрібна для утворення пари (електрона в S і дірки в S′), дається просто відстанню по вертикалі між S і S′, як показано на фіг. 12.4. Найменша енергія, потрібна для утворення пари, називається енергетичною шириною, або шириною щілини, і дорівнює
Іноді вам може трапитися й простіша діаграма. Її малюють ті, кому не цікава змінна k, називаючи її діаграмою енергетичних рівнів. Ця діаграма (вона показана на фіг. 12.5) просто вказує допустимі енергії в електронів і дірок.Як утворюється пара електрон—дірка? Є кілька способів. Наприклад, світлові фотони (або рентгенівські промені) можуть поглинутися і утворити пару, якщо тільки енергія фотона більша за енергетичну ширину. Швидкість утворення пар пропорційна інтенсивності світла. Якщо притиснути до торців кристала два електроди і прикласти «зміщувальну» напругу, то електрони і дірки притягнуться до електродів. Струм у колі буде пропорційний силі світла. Цей механізм відповідальний за явище фотопровідності і за роботу фотоелементів. Пари електрон — дірка можуть утворюватися також частинками високих енергій. Коли швидко рухома заряджена частинка (наприклад, протон або піон з енергією в десятки і сотні МеВ) пролітає крізь кристал, її електричне поле може вирвати електрони з їхніх зв'язаних станів, утворюючи пари електрон — дірка. Подібні явища сотнями й тисячами відбуваються на кожному міліметрі сліду. Після того як частинка пройде, можна зібрати носії і тим самим викликати електричний імпульс. Перед вами механізм того, що розігрується в напівпровідникових лічильниках, які останнім часом використовуються в дослідах з ядерної фізики. Для таких лічильників напівпровідники не потрібні, їх можна виготовляти і з кристалічних ізоляторів. Так і було насправді: перший з таких лічильників був виготовлений з алмазу, який за кімнатних температур є ізолятором. Але потрібні дуже чисті кристали, якщо ми хочемо, щоб електрони і дірки могли добиратися до електродів, не боячись захоплення. Тому й використовуються кремній і германій, що зразки цих напівпровідників розумних розмірів (порядку сантиметра) можна отримувати великої чистоти.
Досі ми торкалися лише властивостей напівпровідникових кристалів за температур біля абсолютного нуля. За будь-якої ненульової температури є ще й інший механізм утворення пар електрон — дірка. Енергією пару може забезпечити теплова енергія кристала. Теплові коливання кристала можуть передавати парі свою енергію, викликаючи «мимовільне» народження пар.
Імовірність (за одиницю часу) того, що енергія, яка сягає величини енергетичної щілини Eщілини, зосередиться в місці розташування одного з атомів, пропорційна exp (—Eщілини/kT), де T—температура, а k — стала Больцмана[див. розд. 40 (вип. 4)]. Поблизу абсолютного нуля ця ймовірність мало помітна, але з ростом температури ймовірність утворення таких пар зростає. Утворення пар за будь-якої скінченної температури повинно тривати без кінця, даючи весь час з постійною швидкістю все нові й нові позитивні та негативні носії. Звісно, насправді цього не буде, тому що за мить електрони випадково знову зустрінуться з дірками, електрон скотиться в дірку, а вивільнена енергія перейде до ґратки. Ми скажемо, що електрон з діркою «анігілювали». Існує певна ймовірність того, що дірка зустрінеться з електроном і обидва вони одне одного знищать.
Якщо кількість електронів в одиниці об'єму є Nn (n означає негативних, або відʼємних, носіїв), а густина позитивних (додатних) носіїв Np, то ймовірність того, що за одиницю часу електрон з діркою зустрінуться і проанігілюють, пропорційна добутку NnNp . За рівноваги ця швидкість повинна дорівнювати швидкості, з якою утворюються пари. Отже, за рівноваги добуток NnNp повинен дорівнювати добутку деякої сталої на больцманівський множник
Зображення
Кажучи про сталу, ми маємо на увазі її приблизну сталість. Повніша теорія, що враховує різні деталі того, як електрони з дірками «знаходять» один одного, свідчить, що «стала» трохи залежить і від температури; але головна залежність від температури лежить усе ж в експоненті.
Візьмемо, наприклад, чисту речовину, спочатку нейтральну. За скінченної температури можна очікувати, що число позитивних і негативних носіїв буде однаковим, Nn = Np. Отже, кожне з цих чисел повинно з температурою змінюватися як е–Ещілини/2kT. Зміна багатьох властивостей напівпровідника (наприклад, його провідності) визначається головним чином експоненційним множником, тому що всі інші фактори значно слабше залежать від температури. Ширина щілини для германію приблизно дорівнює 0,72 еВ, а для кремнію 1,1 еВ.
За кімнатної температури kT становить близько 1/40 еВ. За таких температур уже є достатньо дірок і електронів, щоб забезпечити помітну провідність, тоді як, скажімо, за 30°К (однієї десятої кімнатної температури) провідність непомітна. Ширина щілини в алмазу дорівнює 6—7 еВ, тому за кімнатної температури алмаз — хороший ізолятор.
Візьмемо, наприклад, чисту речовину, спочатку нейтральну. За скінченної температури можна очікувати, що число позитивних і негативних носіїв буде однаковим, Nn = Np. Отже, кожне з цих чисел повинно з температурою змінюватися як е–Ещілини/2kT. Зміна багатьох властивостей напівпровідника (наприклад, його провідності) визначається головним чином експоненційним множником, тому що всі інші фактори значно слабше залежать від температури. Ширина щілини для германію приблизно дорівнює 0,72 еВ, а для кремнію 1,1 еВ.
За кімнатної температури kT становить близько 1/40 еВ. За таких температур уже є достатньо дірок і електронів, щоб забезпечити помітну провідність, тоді як, скажімо, за 30°К (однієї десятої кімнатної температури) провідність непомітна. Ширина щілини в алмазу дорівнює 6—7 еВ, тому за кімнатної температури алмаз — хороший ізолятор.