Гармонічний рух і рух по колу

Косинус у розв'язку рівняння (21.2) наводить на думку, що гармонічний рух має якийсь стосунок до руху по колу. Це порівняння, звісно, штучне, бо в лінійному русі нема звідки взятися колу: вантажик рухається строго вгору й вниз. Можна виправдатися тим, що ми вже розв'язали рівняння гармонічного руху, коли вивчали механіку руху по колу. Якщо частинка рухається по колу зі сталою швидкістю v, то радіус-вектор із центра кола до частинки повертається на кут, величина якого пропорційна часу. Позначимо цей кут θ=vt/R (фіг. 21.2). Тоді dθ/dt=ω₀=v/R. Відомо, що прискорення a=v²/R = ω²₀R і напрямлене до центра. Координати рухомої точки в заданий момент дорівнюють
x = R cos θ, y = R sin θ.
Що можна сказати про прискорення? Чому дорівнює x-складова прискорення, d²x/dt²? Знайти цю величину можна чисто геометрично: вона дорівнює величині прискорення, помноженій на косинус кута проєкції; перед здобутим виразом треба поставити знак мінус, бо прискорення напрямлене до центра:

Іншими словами, коли частинка рухається по колу, горизонтальна складова руху має прискорення, пропорційне горизонтальному зміщенню від центра. Звісно, ми знаємо розв'язок для випадку руху по колу: x=R cos ω₀t. Рівняння (21.7) не містить радіуса кола; воно однакове при русі по будь-якому колу за однакової ω₀. Таким чином, є кілька причин, з яких слід очікувати, що відхилення вантажика на пружинці виявиться пропорційним cos ω₀t і рух виглядатиме так, наче ми стежили за x-координатою частинки, що рухається по колу з кутовою швидкістю ω₀. Перевірити це можна, поставивши дослід, щоб показати, що рух вантажика вгору-вниз на пружинці точно відповідає руху точки по колу. На фіг. 21.3 світло дугової лампи проєктує на екран тіні, що рухаються поруч, голки, застромленої в обертовий диск, і вертикально коливного вантажу. Якщо вчасно і з потрібного місця змусити вантажик коливатися, а потім обережно підібрати швидкість руху диска так, щоб частоти їхніх рухів збіглися, тіні на екрані будуть точно йти одна за одною. Оце ще один спосіб переконатися, що, знаходячи числовий розв'язок, ми майже впритул підійшли до косинуса. Тут можна підкреслити, що оскільки математика рівномірного руху по колу дуже схожа на математику коливального руху вгору-вниз, то аналіз коливальних рухів дуже спроститься, якщо уявити цей рух як проєкцію руху по колу. Іншими словами, ми можемо доповнити рівняння (21.2), здавалося б, зовсім зайвим рівнянням для y і розглядати обидва рівняння разом. Зробивши це, ми зведемо одновимірні коливання до руху по колу, що звільнить нас від розв'язання диференціального рівняння. Можна зробити ще один трюк — ввести комплексні числа, але про це в наступному розділі.