Зазвичай фізику як науку поділяють на кілька розділів: механіку, електрику тощо, і ми «проходимо» ці розділи один за одним. Зараз, наприклад, ми «проходимо» переважно механіку. Але раз по раз трапляються дивні речі: переходячи до нових розділів фізики і навіть до інших наук, ми натрапляємо на рівняння, які майже не відрізняються від уже вивчених нами раніше. Таким чином, багато явищ мають аналогію в зовсім інших областях науки. Найпростіший приклад: поширення звукових хвиль багато в чому подібне до поширення світлових хвиль. Якщо ми досить докладно вивчимо акустику, то виявимо потім, що «пройшли» досить велику частину оптики. Таким чином, вивчення явищ в одній області фізики може виявитися корисним при вивченні інших її розділів. Добре з самого початку передбачити таке можливе «розширення рамок розділу», інакше можуть виникнути непорозуміння, чому ми витрачаємо стільки часу й сил на вивчення невеликої задачі механіки.
Гармонічний осцилятор, до вивчення якого ми зараз переходимо, зустрічатиметься нам майже всюди; хоча ми почнемо з чисто механічних прикладів вантажика на пружинці, малих відхилень маятника або якихось інших механічних пристроїв, насправді ми вивчатимемо якесь диференціальне рівняння. Це рівняння безперестанку зустрічається у фізиці та в інших науках і фактично описує стільки явищ, що, справді, варто вивчити його краще. Таке рівняння описує коливання вантажика на пружинці, коливання заряду, що тече туди й сюди по електричному колу, коливання камертона, які породжують звукові хвилі, аналогічні коливання електронів в атомі, які породжують світлові хвилі. Додайте до цього рівняння, що описують дію регуляторів, наприклад тих, що підтримують задану температуру термостата, складні взаємодії в хімічних реакціях і (уже зовсім несподівано) рівняння, що стосуються росту колонії бактерій, яких водночас і годують, і труять отрутою, або розмноження лисиць, що живляться кроликами, які, у свою чергу, їдять траву, і т. д. Ми навели дуже неповний перелік явищ, які описуються майже тими самими рівняннями, що й механічний осцилятор. Ці рівняння називаються лінійними диференціальними рівняннями зі сталими коефіцієнтами. Це рівняння, що складаються із суми кількох членів, кожен з яких є похідною залежної величини за незалежною, помноженою на сталий коефіцієнт. Таким чином,
Зображення
називається лінійним диференціальним рівнянням n-го порядку зі сталими коефіцієнтами (усі аn— сталі).