Коливання під дією зовнішньої сили

Нам залишається розглянути коливання гармонічного осцилятора під дією зовнішньої сили. Рух у цьому випадку описується рівнянням

Подумаємо, як поводитиметься вантажик за цих обставин. Зовнішня рухома сила може залежати від часу яким завгодно чином. Почнемо з найпростішої залежності. Припустімо, що сила осцилює

Зверніть увагу, що ω₀ — це не обов'язково ω: будемо вважати, що можна змінювати ω₀, змушуючи силу діяти з різною частотою. Отже, потрібно розв'язати рівняння (21.8) у випадку спеціально підібраної сили (21.9). Яким буде розв'язок (21.8)? Один із часткових розв'язків (загальним розв'язком ми ще займемося) має такий вигляд:

де сталу С ще треба визначити. Іншими словами, намагаючись знайти розв'язок у такому вигляді, ми припускаємо, що, якщо тягнути вантажик туди й сюди, він у кінцевому підсумку почне хитатися туди й сюди з частотою діючої сили. Перевірмо, чи це може бути. Підставивши (21.10) у (21.9), отримаємо

Ми вже замінили k на mω²₀, бо зручніше порівнювати дві частоти. Рівняння (21.11) можна поділити на косинус, що міститься в кожному члені, і переконатися, що при правильно підібраному значенні С вираз (21.10) буде розв'язком. Ця величина С повинна бути такою:

Таким чином, вантажик m коливається з частотою сили, що на нього діє, але амплітуда коливання залежить від співвідношення між частотою сили і частотою вільного руху осцилятора. Якщо ω дуже мала порівняно з ω₀, то вантажик рухається слідом за силою. Якщо ж надто швидко змінювати напрямок штовхань, то вантажик починає рухатися в напрямку, протилежному до сили. Це випливає з рівності (21.12), яка каже нам, що величина С від'ємна, якщо ω більше за власну частоту гармонічного осцилятора ω₀. (Ми будемо називати ω₀ власною частотою гармонічного осцилятора, а ω — прикладеною частотою.) При дуже високій частоті знаменник стає дуже великим, і вантажик практично не рухається. Знайдений нами розв'язок справедливий лише в тому випадку, коли між осцилятором і діючою силою вже встановилася рівновага; це відбувається після того, як вимруть інші рухи. Ці рухи, що вимирають, називають перехідним відгуком на силу F(t), а рух, що описується (21.10) і (21.12),— рівноважним відгуком. Приглянувшись до формули (21.12), ми помітимо цікаву річ: якщо частота ω майже дорівнює ω₀, то С прямує до нескінченності. Таким чином, якщо налаштувати силу «в лад» із власною частотою, відхилення вантажика досягнуть гігантських розмірів. Про це знає кожен, кому колись доводилося розхитувати дитину на гойдалці. Це досить важко зробити, якщо закрити очі й безладно штовхати гойдалку. Але якщо знайти правильний ритм, то розхитати гойдалку легко, однак, як тільки ми знову збиваємося з ритму, штовхання почнуть гальмувати гойдалку, і з такої роботи буде мало користі.
Якщо частота ω буде точно дорівнювати ω₀, то амплітуда повинна стати нескінченною, що, звісно, неможливо. Ми помилилися, бо розв'язували не зовсім правильне рівняння. Складаючи рівняння (21.8), ми забули про силу тертя і про багато інших сил. Тому амплітуда ніколи не досягне нескінченності; мабуть, пружинка порветься набагато раніше!