Давайте з'ясуємо, який сенс мають A і B або α і Δ. Звісно, вони показують, як почався рух. Якщо рух почнеться з малого відхилення, ми отримаємо один тип коливань; якщо трохи розтягнути пружинку, а потім ударити по вантажику — інший. Сталі A і B або α і Δ, або які-
небудь дві інші сталі визначаються обставинами, за яких почався рух, або, як звичайно кажуть, початковими умовами. Потрібно навчитися визначати сталі, виходячи з початкових умов. Хоча для цього можна використати будь-яке із співвідношень (21.6), найкраще мати справу з (21.6в). Нехай у початковий момент t=0 вантажик зміщено від положення рівноваги на величину х0 і він має швидкість v0. Це найзагальніша ситуація, яку тільки можна вигадати. (Неможливо задати початкове прискорення, бо воно залежить від властивостей пружини; ми можемо розпорядитися лише величиною х0.) Обчислимо тепер А і В. Почнемо з рівняння для
x = A cos ω0t + B sin ω0t
оскільки нам знадобиться й швидкість, продиференціюємо х і отримаємо
v = - ω0Asin ω0t + ω0B cos ω0t.
Ці вирази справедливі для всіх t, але в нас є додаткові відомості про величини х і v при t=0. Таким чином, якщо покласти t=0, ми повинні отримати зліва х0 і v0, бо саме в це перетворюються х і v при t=0. Крім того, ми знаємо, що косинус нуля дорівнює одиниці, а синус нуля дорівнює нулю. Отже,
x0 = A*1 + B*0 = A
і
v0 = - ω0A*0 + ω0B*1 = ω0B.
Таким чином, у цьому окремому випадку
A = x0, B = v0/ω0.
Знаючи А і В, ми можемо, якщо захочемо, знайти α і Δ.
Отже, задачу про рух осцилятора розв'язано, але є одна цікава річ, яку треба перевірити. Треба з'ясувати, чи зберігається енергія. Якщо немає сил тертя, то енергія повинна зберігатися. Зараз нам зручно використати формули
x = α cos (ω0t + Δ)
і
v = - ω0α sin (ω0t + Δ).
Знайдемо кінетичну енергію T і потенціальну енергію U. Потенціальна енергія в довільний момент часу дорівнює 1/2kх2, де х — зміщення, а k— стала жорсткості пружинки. Підставляючи замість х написаний вище вираз, знайдемо
U = 1/2kx2 = 1/2kα2 cos2 (ω0t + Δ).
Звісно, потенціальна енергія залежить від часу; вона завжди додатна, це також зрозуміло: адже потенціальна енергія — це енергія пружини, а вона змінюється разом із х. Кінетична енергія дорівнює 1/2mv2; використовуючи вираз для v, отримуємо
T = 1/2mv2 = 1/2mω20α2 sin2(ω0t + Δ).
Кінетична енергія дорівнює нулю при максимальному х, бо в цьому випадку вантажик зупиняється; коли ж вантажик проходить положення рівноваги (х = 0), то кінетична енергія досягає максимуму, бо саме тоді вантажик рухається найшвидше. Зміна кінетичної енергії, таким чином, протилежна зміні потенціальної енергії. Повна енергія повинна бути сталою. Справді, якщо згадати, що k = mω20, то
T + U = 1/2mω20α2[cos2(ω0t + Δ) + sin2(ω0t + Δ)] = 1/2mω20α2.
Енергія залежить від квадрата амплітуди: якщо збільшити амплітуду коливання вдвічі, то енергія зросте вчетверо. Середня потенціальна енергія дорівнює половині максимальної і, отже, половині повної; середня кінетична енергія також дорівнює половині повної енергії.
небудь дві інші сталі визначаються обставинами, за яких почався рух, або, як звичайно кажуть, початковими умовами. Потрібно навчитися визначати сталі, виходячи з початкових умов. Хоча для цього можна використати будь-яке із співвідношень (21.6), найкраще мати справу з (21.6в). Нехай у початковий момент t=0 вантажик зміщено від положення рівноваги на величину х0 і він має швидкість v0. Це найзагальніша ситуація, яку тільки можна вигадати. (Неможливо задати початкове прискорення, бо воно залежить від властивостей пружини; ми можемо розпорядитися лише величиною х0.) Обчислимо тепер А і В. Почнемо з рівняння для
x = A cos ω0t + B sin ω0t
оскільки нам знадобиться й швидкість, продиференціюємо х і отримаємо
v = - ω0Asin ω0t + ω0B cos ω0t.
Ці вирази справедливі для всіх t, але в нас є додаткові відомості про величини х і v при t=0. Таким чином, якщо покласти t=0, ми повинні отримати зліва х0 і v0, бо саме в це перетворюються х і v при t=0. Крім того, ми знаємо, що косинус нуля дорівнює одиниці, а синус нуля дорівнює нулю. Отже,
x0 = A*1 + B*0 = A
і
v0 = - ω0A*0 + ω0B*1 = ω0B.
Таким чином, у цьому окремому випадку
A = x0, B = v0/ω0.
Знаючи А і В, ми можемо, якщо захочемо, знайти α і Δ.
Отже, задачу про рух осцилятора розв'язано, але є одна цікава річ, яку треба перевірити. Треба з'ясувати, чи зберігається енергія. Якщо немає сил тертя, то енергія повинна зберігатися. Зараз нам зручно використати формули
x = α cos (ω0t + Δ)
і
v = - ω0α sin (ω0t + Δ).
Знайдемо кінетичну енергію T і потенціальну енергію U. Потенціальна енергія в довільний момент часу дорівнює 1/2kх2, де х — зміщення, а k— стала жорсткості пружинки. Підставляючи замість х написаний вище вираз, знайдемо
U = 1/2kx2 = 1/2kα2 cos2 (ω0t + Δ).
Звісно, потенціальна енергія залежить від часу; вона завжди додатна, це також зрозуміло: адже потенціальна енергія — це енергія пружини, а вона змінюється разом із х. Кінетична енергія дорівнює 1/2mv2; використовуючи вираз для v, отримуємо
T = 1/2mv2 = 1/2mω20α2 sin2(ω0t + Δ).
Кінетична енергія дорівнює нулю при максимальному х, бо в цьому випадку вантажик зупиняється; коли ж вантажик проходить положення рівноваги (х = 0), то кінетична енергія досягає максимуму, бо саме тоді вантажик рухається найшвидше. Зміна кінетичної енергії, таким чином, протилежна зміні потенціальної енергії. Повна енергія повинна бути сталою. Справді, якщо згадати, що k = mω20, то
T + U = 1/2mω20α2[cos2(ω0t + Δ) + sin2(ω0t + Δ)] = 1/2mω20α2.
Енергія залежить від квадрата амплітуди: якщо збільшити амплітуду коливання вдвічі, то енергія зросте вчетверо. Середня потенціальна енергія дорівнює половині максимальної і, отже, половині повної; середня кінетична енергія також дорівнює половині повної енергії.