Векторні поля мають дві математично важливі властивості, якими ми будемо користуватися при описі законів електрики з польової точки зору. Уявімо собі замкнену поверхню і поставимо запитання, чи витікає з неї «щось», тобто чи має поле властивість «витікання»? Скажімо, для поля швидкостей ми можемо поцікавитися, чи завжди швидкість спрямована від поверхні, або, в більш загальному випадку, чи витікає з поверхні більше рідини (за одиницю часу), ніж втікає. Загальну кількість рідини, що витікає через поверхню, ми назвемо «потоком швидкості» через поверхню за одиницю часу. Потік через елемент поверхні дорівнює складовій швидкості, перпендикулярній до елемента, помноженій на його площу. Для довільної замкненої поверхні сумарний потік дорівнює середньому значенню нормальної компоненти швидкості (яка відлічується назовні), помноженому на площу поверхні:
Зображення
У випадку електричного поля можна математично визначити поняття, подібне до потоку рідини; ми теж називаємо його потоком, але, звісно, це вже не течія якоїсь рідини, бо електричне поле не можна вважати швидкістю чогось. Виявляється все ж, що математична величина, яка визначається як середня нормальна компонента поля, і надалі має корисне значення. Тоді ми говоримо про потік електрики, також визначений рівнянням (1.4). Нарешті, корисно говорити про потік не тільки крізь замкнену, а й крізь будь-яку обмежену поверхню. Як і раніше, потік крізь таку поверхню визначається як середня нормальна компонента вектора, помножена на площу поверхні. Ці уявлення ілюструються фіг.1.3.
Інша властивість векторних полів стосується не стільки поверхонь, скільки ліній. Уявімо знову поле швидкостей, що описує потік рідини. Можна поставити цікаве запитання: чи циркулює рідина? Це означає: чи існує обертальний її рух уздовж якогось замкненого контуру (петлі)? Уявіть собі, що ми миттєво заморозили рідину всюди, за винятком внутрішньої частини замкненої у вигляді петлі трубки сталого перерізу (фіг. 1.4). Зовні трубки рідина зупиниться, але всередині вона може продовжувати рухатися, якщо в ній (у рідині) зберігся імпульс, тобто якщо імпульс, що жене її в одному напрямку, більший за імпульс у зворотному.
Ми визначаємо величину, яку називають циркуляцією, як швидкість рідини в трубці, помножену на довжину трубки. Знову ж таки ми можемо розширити наші уявлення і визначити «циркуляцію» для будь-якого векторного поля (навіть якщо там немає нічого рухомого). У будь-якого векторного поля циркуляція по будь-якому уявному замкненому контуру визначається як середня дотична компонента вектора (з урахуванням напрямку обходу), помножена на протяжність контуру (фіг. 1.5):Зображення
Ви бачите, що це визначення справді дає число, пропорційне циркуляції швидкості в трубці, просвердленій у швидкозамороженій рідині.
Користуючись лише цими двома поняттями — поняттям про потік і поняттям про циркуляцію,— ми здатні описати всі закони електрики й магнетизму. Вам, можливо, буде важко чітко зрозуміти значення законів, але вони дадуть вам деяке уявлення про те, яким способом зрештою може бути описана фізика електромагнітних явищ.
Користуючись лише цими двома поняттями — поняттям про потік і поняттям про циркуляцію,— ми здатні описати всі закони електрики й магнетизму. Вам, можливо, буде важко чітко зрозуміти значення законів, але вони дадуть вам деяке уявлення про те, яким способом зрештою може бути описана фізика електромагнітних явищ.