Перший закон електромагнетизму описує потік електричного поля:
Зображення
де ε0 — деяка стала (читається епсилон-нуль). Якщо всередині поверхні немає зарядів, а поза нею (навіть зовсім поруч) є, то все одно середня нормальна компонента Е дорівнює нулю, тож жодного потоку крізь поверхню немає. Щоб показати користь від такого роду тверджень, ми доведемо, що рівняння (1.6) збігається із законом Кулона, якщо тільки врахувати, що поле окремого заряду повинне бути сферично симетричним. Проведемо навколо точкового заряду сферу. Тоді середня нормальна компонента точно дорівнює значенню Е в будь-якій точці, бо поле повинне бути спрямоване по радіусу й мати ту саму величину в усіх точках сфери. Тоді наше правило стверджує, що поле на поверхні сфери, помножене на площу сфери (тобто потік, що витікає зі сфери), пропорційне заряду всередині неї. Якщо збільшувати радіус сфери, то її площа зростає, як квадрат радіуса. Добуток середньої нормальної компоненти електричного поля на цю площу повинен, як і раніше, дорівнювати внутрішньому заряду, отже, поле повинне спадати, як квадрат відстані; так виходить поле «обернених квадратів».
Якщо взяти в просторі довільну криву і виміряти циркуляцію електричного поля вздовж цієї кривої, то виявиться, що вона в загальному випадку не дорівнює нулю (хоча в кулоновому полі це так). Натомість для електрики справедливий другий закон, який стверджує, що
Якщо взяти в просторі довільну криву і виміряти циркуляцію електричного поля вздовж цієї кривої, то виявиться, що вона в загальному випадку не дорівнює нулю (хоча в кулоновому полі це так). Натомість для електрики справедливий другий закон, який стверджує, що
Зображення
І, нарешті, формулювання законів електромагнітного поля буде завершене, якщо написати два відповідних рівняння для магнітного поля В:
Зображення
А для поверхні S, обмеженої кривою C:
Зображення
Стала с2, що з'явилася в рівнянні (1.9), — це квадрат швидкості світла. Її поява виправдана тим, що магнетизм по суті є релятивістським проявом електрики. А константа ε0 поставлена для того, щоб виникли звичні одиниці сили електричного струму.
Рівняння (1.6) — (1.9), а також рівняння (1.1) — це всі закони електродинаміки. Як ви пам'ятаєте, закони Ньютона написати було дуже просто, але з них натомість випливала безліч складних наслідків, тож знадобилося чимало часу, щоб вивчити їх усі. Закони електромагнетизму написати незрівнянно важче, і ми повинні очікувати, що наслідки з них будуть набагато заплутанішими, і тепер нам доведеться дуже довго в них розбиратися.
Ми можемо проілюструвати деякі закони електродинаміки серією нескладних дослідів, які зможуть показати нам хоча б якісно взаємозв'язки електричного й магнітного полів. З першим членом у рівнянні (1.1) ви знайомитеся, розчісуючи собі волосся, тож про нього ми говорити не будемо. Другий член у рівнянні (1.1) можна продемонструвати, пропустивши струм по дроту, що висить над магнітним бруском, як показано на фіг. 1.6. При увімкненні струму дріт зсувається через те, що на нього діє сила F = qvXB. Коли по проводу йде струм, заряди всередині нього рухаються, тобто мають швидкість v, і на них діє магнітне поле магніту, у результаті чого провід відходить убік.
Коли провід зсувається ліворуч, можна очікувати, що сам магніт зазнає поштовху праворуч. (Інакше весь цей пристрій можна було б водрузити на платформу й отримати реактивну систему, в якій імпульс не зберігався б!) Хоча сила надто мала, щоб можна було помітити рух магнітної палички, однак рух чутливішого пристрою, скажімо стрілки компаса, цілком помітний.
Яким же чином струм у проводі штовхає магніт? Струм, що тече по проводу, створює навколо нього своє власне магнітне поле, яке і діє на магніт. Відповідно до останнього члена в рівнянні (1.9) струм повинен приводити до циркуляції вектора В; у нашому випадку лінії поля В замкнені навколо провода, як показано на фіг. 1.7. Саме це поле В і відповідальне за силу, що діє на магніт.
Рівняння (1.9) повідомляє нам, що при даній величині струму, що тече по проводу, циркуляція поля В однакова для будь-якої кривої, що оточує провід. У тих кривих (кіл, наприклад), які лежать далеко від провода, довжина виявляється більшою, тож дотична компонента В повинна спадати. Ви бачите, що слід очікувати лінійного спадання В з віддаленням від довгого прямого провода.
Ми сказали, що струм, який тече по проводу, утворює навколо нього магнітне поле і що якщо є магнітне поле, то воно діє з деякою силою на провід, по якому йде струм. Отже, слід думати, що якщо магнітне поле буде створене струмом, що тече в одному проводі, то воно діятиме з деякою силою і на інший провід, по якому теж іде струм. Це можна показати, застосувавши два вільно підвішені проводи (фіг. 1.8). Коли напрямок струмів однаковий, проводи притягуються, а коли напрямки протилежні — відштовхуються.
Коротше кажучи, електричні струми, як і магніти, створюють магнітні поля. Але тоді що ж таке магніт? Раз магнітні поля створюються рухомими зарядами, то чи не може виявитися, що магнітне поле, створене шматком заліза, насправді є результатом дії струмів? Мабуть, так воно і є. У наших дослідах можна замінити магнітну паличку котушкою з навитим дротом, як показано на фіг. 1.9. Коли струм проходить по котушці (як і по прямому проводу над нею), спостерігається точно такий самий рух провідника, як і раніше, коли замість котушки стояв магніт. Усе виглядає так, ніби всередині шматка заліза безперервно циркулює струм. Дійсно, властивості магнітів можна зрозуміти як безперервний струм усередині атомів заліза. Сила, що діє на магніт на фіг. 1.7, пояснюється другим членом у рівнянні (1.1).
Звідки ж беруться ці струми? Одне джерело — це рух електронів по атомних орбітах. У заліза це не так, але в деяких матеріалів походження магнетизму саме таке. Крім обертання навколо ядра атома, електрон обертається ще й навколо власної осі (щось подібне до обертання Землі); ось від цього обертання й виникає струм, що створює магнітне поле заліза. (Ми сказали «щось подібне до обертання Землі», бо насправді в квантовій механіці питання настільки глибоке, що не вкладається достатньо добре в класичні уявлення.) У більшості речовин частина електронів крутиться в один бік, інша — в інший, тож магнетизм зникає, а в залізі (з таємничої причини, про яку ми поговоримо пізніше) багато електронів обертаються так, що їхні осі дивляться в один бік, і це слугує джерелом магнетизму.
Оскільки поля магнітів породжуються струмами, то в рівняння (1.8) і (1.9) немає потреби вставляти додаткові члени, що враховують існування магнітів. У цих рівняннях ідеться про всі струми, включно з круговими струмами від електронів, що обертаються, і закон виявляється правильним. Треба ще зазначити, що, згідно з рівнянням (1.8), магнітних зарядів, подібних до електричних зарядів, що стоять у правій частині рівняння (1.6), не існує. Їх ніколи не було виявлено.
Перший член у правій частині рівняння (1.9) був відкритий Максвеллом теоретично; він дуже важливий. Він каже, що зміна електричних полів викликає магнітні явища. Насправді без цього члена рівняння втратило б сенс, адже без нього зникли б струми в незамкнених контурах. А насправді такі струми існують; про це свідчить такий приклад. Уявіть конденсатор, складений із двох плоских пластин. Він заряджається струмом, що притікає до однієї з пластин і відтікає від іншої, як показано на фіг. 1.10. Проведемо навколо одного з проводів криву C і натягнемо на неї поверхню (поверхню S1), яка перетне провід. Відповідно до рівняння (1.9) циркуляція поля В по кривій C дається величиною струму в проводі (помноженою на с2). Але що буде, якщо ми натягнемо на криву іншу поверхню S2 у формі чашки, денце якої розташоване між пластинами конденсатора і не торкається провода? Крізь таку поверхню жодний струм, звісно, не проходить. Але ж проста зміна положення і форми уявної поверхні не повинна змінювати реального магнітного поля! Циркуляція поля В повинна залишитися колишньою. І справді, перший член у правій частині рівняння (1.9) так комбінується з другим членом, що для обох поверхонь S1 і S2 виникає однаковий ефект. Для S2 циркуляція вектора В виражається через ступінь зміни потоку вектора Е від однієї пластини до іншої. І виходить, що зміна Е пов'язана зі струмом якраз так, що рівняння (1.9) виявляється виконаним. Максвелл бачив потребу в цьому і був першим, хто написав повне рівняння.
За допомогою пристрою, зображеного на фіг. 1.6, можна продемонструвати інший закон електромагнетизму. Від'єднаємо кінці підвішеного дротика від батарейки і приєднаємо їх до гальванометра — приладу, що реєструє проходження струму по проводу. Досить лише в полі магніту хитнути дротик, як по ньому одразу піде струм. Це новий наслідок рівняння (1.1): електрони в проводі відчують дію сили F=qv X B. Їхня швидкість зараз спрямована вбік, бо вони відхиляються разом із дротиком. Це v разом із вертикально спрямованим полем В магніту призводить до сили, що діє на електрони вздовж провода, і електрони вирушають до гальванометра.
Покладімо, однак, що ми залишили дротик у спокої і почали переміщувати магніт. Ми відчуваємо, що жодної різниці бути не повинно, адже відносний рух той самий, і справді струм по гальванометру йде. Але як же магнітне поле діє на нерухомі заряди? Відповідно до рівняння (1.1) повинно виникнути електричне поле. Рухомий магніт повинен створювати електричне поле. На запитання — як це відбувається, відповідає кількісно рівняння (1.7). Це рівняння описує безліч практично дуже важливих явищ, що відбуваються в електричних генераторах і трансформаторах.
Найбільш чудовий наслідок наших рівнянь — це те, що, поєднуючи рівняння (1.7) і (1.9), можна зрозуміти, чому електромагнітні явища поширюються на далекі відстані. Причина цього, грубо кажучи, приблизно така: припустимо, що десь є магнітне поле, яке зростає за величиною, скажімо, через те, що раптово пустили струм по проводу. Тоді з рівняння (1.7) випливає, що повинна виникнути циркуляція електричного поля. Коли електричне поле починає поступово зростати для виникнення циркуляції, тоді, згідно з рівнянням (1.9), повинна виникати й магнітна циркуляція. Але зростання цього магнітного поля створить нову циркуляцію електричного поля і т. д. Таким чином поля поширюються крізь простір, не потребуючи ні зарядів, ні струмів ніде, крім джерела полів. Саме таким чином ми бачимо одне одного! Усе це приховано в рівняннях електромагнітного поля.
Рівняння (1.6) — (1.9), а також рівняння (1.1) — це всі закони електродинаміки. Як ви пам'ятаєте, закони Ньютона написати було дуже просто, але з них натомість випливала безліч складних наслідків, тож знадобилося чимало часу, щоб вивчити їх усі. Закони електромагнетизму написати незрівнянно важче, і ми повинні очікувати, що наслідки з них будуть набагато заплутанішими, і тепер нам доведеться дуже довго в них розбиратися.
Ми можемо проілюструвати деякі закони електродинаміки серією нескладних дослідів, які зможуть показати нам хоча б якісно взаємозв'язки електричного й магнітного полів. З першим членом у рівнянні (1.1) ви знайомитеся, розчісуючи собі волосся, тож про нього ми говорити не будемо. Другий член у рівнянні (1.1) можна продемонструвати, пропустивши струм по дроту, що висить над магнітним бруском, як показано на фіг. 1.6. При увімкненні струму дріт зсувається через те, що на нього діє сила F = qvXB. Коли по проводу йде струм, заряди всередині нього рухаються, тобто мають швидкість v, і на них діє магнітне поле магніту, у результаті чого провід відходить убік.Коли провід зсувається ліворуч, можна очікувати, що сам магніт зазнає поштовху праворуч. (Інакше весь цей пристрій можна було б водрузити на платформу й отримати реактивну систему, в якій імпульс не зберігався б!) Хоча сила надто мала, щоб можна було помітити рух магнітної палички, однак рух чутливішого пристрою, скажімо стрілки компаса, цілком помітний.
Яким же чином струм у проводі штовхає магніт? Струм, що тече по проводу, створює навколо нього своє власне магнітне поле, яке і діє на магніт. Відповідно до останнього члена в рівнянні (1.9) струм повинен приводити до циркуляції вектора В; у нашому випадку лінії поля В замкнені навколо провода, як показано на фіг. 1.7. Саме це поле В і відповідальне за силу, що діє на магніт.Рівняння (1.9) повідомляє нам, що при даній величині струму, що тече по проводу, циркуляція поля В однакова для будь-якої кривої, що оточує провід. У тих кривих (кіл, наприклад), які лежать далеко від провода, довжина виявляється більшою, тож дотична компонента В повинна спадати. Ви бачите, що слід очікувати лінійного спадання В з віддаленням від довгого прямого провода.
Ми сказали, що струм, який тече по проводу, утворює навколо нього магнітне поле і що якщо є магнітне поле, то воно діє з деякою силою на провід, по якому йде струм. Отже, слід думати, що якщо магнітне поле буде створене струмом, що тече в одному проводі, то воно діятиме з деякою силою і на інший провід, по якому теж іде струм. Це можна показати, застосувавши два вільно підвішені проводи (фіг. 1.8). Коли напрямок струмів однаковий, проводи притягуються, а коли напрямки протилежні — відштовхуються.Коротше кажучи, електричні струми, як і магніти, створюють магнітні поля. Але тоді що ж таке магніт? Раз магнітні поля створюються рухомими зарядами, то чи не може виявитися, що магнітне поле, створене шматком заліза, насправді є результатом дії струмів? Мабуть, так воно і є. У наших дослідах можна замінити магнітну паличку котушкою з навитим дротом, як показано на фіг. 1.9. Коли струм проходить по котушці (як і по прямому проводу над нею), спостерігається точно такий самий рух провідника, як і раніше, коли замість котушки стояв магніт. Усе виглядає так, ніби всередині шматка заліза безперервно циркулює струм. Дійсно, властивості магнітів можна зрозуміти як безперервний струм усередині атомів заліза. Сила, що діє на магніт на фіг. 1.7, пояснюється другим членом у рівнянні (1.1).Звідки ж беруться ці струми? Одне джерело — це рух електронів по атомних орбітах. У заліза це не так, але в деяких матеріалів походження магнетизму саме таке. Крім обертання навколо ядра атома, електрон обертається ще й навколо власної осі (щось подібне до обертання Землі); ось від цього обертання й виникає струм, що створює магнітне поле заліза. (Ми сказали «щось подібне до обертання Землі», бо насправді в квантовій механіці питання настільки глибоке, що не вкладається достатньо добре в класичні уявлення.) У більшості речовин частина електронів крутиться в один бік, інша — в інший, тож магнетизм зникає, а в залізі (з таємничої причини, про яку ми поговоримо пізніше) багато електронів обертаються так, що їхні осі дивляться в один бік, і це слугує джерелом магнетизму.
Оскільки поля магнітів породжуються струмами, то в рівняння (1.8) і (1.9) немає потреби вставляти додаткові члени, що враховують існування магнітів. У цих рівняннях ідеться про всі струми, включно з круговими струмами від електронів, що обертаються, і закон виявляється правильним. Треба ще зазначити, що, згідно з рівнянням (1.8), магнітних зарядів, подібних до електричних зарядів, що стоять у правій частині рівняння (1.6), не існує. Їх ніколи не було виявлено.
Перший член у правій частині рівняння (1.9) був відкритий Максвеллом теоретично; він дуже важливий. Він каже, що зміна електричних полів викликає магнітні явища. Насправді без цього члена рівняння втратило б сенс, адже без нього зникли б струми в незамкнених контурах. А насправді такі струми існують; про це свідчить такий приклад. Уявіть конденсатор, складений із двох плоских пластин. Він заряджається струмом, що притікає до однієї з пластин і відтікає від іншої, як показано на фіг. 1.10. Проведемо навколо одного з проводів криву C і натягнемо на неї поверхню (поверхню S1), яка перетне провід. Відповідно до рівняння (1.9) циркуляція поля В по кривій C дається величиною струму в проводі (помноженою на с2). Але що буде, якщо ми натягнемо на криву іншу поверхню S2 у формі чашки, денце якої розташоване між пластинами конденсатора і не торкається провода? Крізь таку поверхню жодний струм, звісно, не проходить. Але ж проста зміна положення і форми уявної поверхні не повинна змінювати реального магнітного поля! Циркуляція поля В повинна залишитися колишньою. І справді, перший член у правій частині рівняння (1.9) так комбінується з другим членом, що для обох поверхонь S1 і S2 виникає однаковий ефект. Для S2 циркуляція вектора В виражається через ступінь зміни потоку вектора Е від однієї пластини до іншої. І виходить, що зміна Е пов'язана зі струмом якраз так, що рівняння (1.9) виявляється виконаним. Максвелл бачив потребу в цьому і був першим, хто написав повне рівняння.За допомогою пристрою, зображеного на фіг. 1.6, можна продемонструвати інший закон електромагнетизму. Від'єднаємо кінці підвішеного дротика від батарейки і приєднаємо їх до гальванометра — приладу, що реєструє проходження струму по проводу. Досить лише в полі магніту хитнути дротик, як по ньому одразу піде струм. Це новий наслідок рівняння (1.1): електрони в проводі відчують дію сили F=qv X B. Їхня швидкість зараз спрямована вбік, бо вони відхиляються разом із дротиком. Це v разом із вертикально спрямованим полем В магніту призводить до сили, що діє на електрони вздовж провода, і електрони вирушають до гальванометра.
Покладімо, однак, що ми залишили дротик у спокої і почали переміщувати магніт. Ми відчуваємо, що жодної різниці бути не повинно, адже відносний рух той самий, і справді струм по гальванометру йде. Але як же магнітне поле діє на нерухомі заряди? Відповідно до рівняння (1.1) повинно виникнути електричне поле. Рухомий магніт повинен створювати електричне поле. На запитання — як це відбувається, відповідає кількісно рівняння (1.7). Це рівняння описує безліч практично дуже важливих явищ, що відбуваються в електричних генераторах і трансформаторах.
Найбільш чудовий наслідок наших рівнянь — це те, що, поєднуючи рівняння (1.7) і (1.9), можна зрозуміти, чому електромагнітні явища поширюються на далекі відстані. Причина цього, грубо кажучи, приблизно така: припустимо, що десь є магнітне поле, яке зростає за величиною, скажімо, через те, що раптово пустили струм по проводу. Тоді з рівняння (1.7) випливає, що повинна виникнути циркуляція електричного поля. Коли електричне поле починає поступово зростати для виникнення циркуляції, тоді, згідно з рівнянням (1.9), повинна виникати й магнітна циркуляція. Але зростання цього магнітного поля створить нову циркуляцію електричного поля і т. д. Таким чином поля поширюються крізь простір, не потребуючи ні зарядів, ні струмів ніде, крім джерела полів. Саме таким чином ми бачимо одне одного! Усе це приховано в рівняннях електромагнітного поля.