Підемо далі. Ви бачили, що у фізиці є маса прикладів застосовності правила правої і лівої руки. Справді, коли ми вивчали векторний аналіз, то дізналися про правило правої руки, яким необхідно користуватися, щоб отримати правильний момент кількості руху і момент сили, магнітне поле і т. п. Наприклад, сила, що діє на заряд у магнітному полі, дорівнює F = qv × В. Але уявіть собі таке положення: нехай ми знаємо F, v і В. Як з цього дізнатися, де в нас права сторона? Якщо повернутися назад і подивитися, звідки походять вектори, то побачимо, що правило правої руки — просто угода, свого роду трюк. На самому початку такі величини, як кутова швидкість і момент кількості руху та інші, подібні до них, насправді взагалі не були справжніми векторами! Усі вони якимось чином пов'язані з певними площинами, і лише завдяки тому, що наш простір тривимірний, ці величини можна пов'язати з напрямком, перпендикулярним до даної площини. Ми ж із двох можливих напрямків обрали правий.
Уявіть собі, що якийсь пустотливий чортик, вирішивши пожартувати над фізиками, пробрався в усі лабораторії і всюди замінив слово «праве» на «ліве». І в результаті, де було написано правило правої руки, ми були б змушені користуватися правилом лівої руки. Ну що ж, фізики просто не помітили б цього, бо ні до якої зміни у фізичних законах це б не призвело, звісно, якщо фізичні закони симетричні.
Покажімо це на прикладі. Ви знаєте, що існують два сорти векторів. Є звичайні, «справжні» вектори, подібні, наприклад, до відрізка відстані Δr у просторі. Нехай у нашій апаратурі щось знаходиться «тут», а щось інше — «там», тоді ті самі «щось» будуть присутні й у дзеркально відображеній апаратурі. Якщо ми в обох випадках проведемо вектори від «сюди» до «туди», то один вектор буде відображенням іншого (фіг. 52.2), причому напрямок стрілки вектора точно, як і весь простір, «вивертається навиворіт». Такі вектори ми називаємо полярними.
Але другий сорт векторів, пов'язаних з обертанням, має зовсім іншу природу. Уявіть собі щось, що обертається в тривимірному просторі (фіг. 52.3). Якщо подивитися на це в дзеркало, то обертання відбуватиметься так, як показано на малюнку, тобто як дзеркальне зображення початкового обертання. Домовимося тепер представляти дзеркальне обертання за допомогою того самого правила. У результаті ми отримаємо «вектор», який на відміну від полярного вектора не змінюється при відображенні й виявляється перевернутим по відношенню до полярного вектора і геометрії всього простору. Такий вектор ми називаємо аксіальним.
Якщо фізичний закон симетрії щодо відображення правильний, то рівняння мають бути влаштовані так, щоб при зміні знака кожного аксіального вектора і кожного векторного добутку (що відповідає відображенню) нічого не сталося. Наприклад, коли ми пишемо формулу для моменту кількості руху L = r X p, то тут усе гаразд, тому що при переході в ліву систему координат ми змінюємо знак L, а знак р і r не змінюється. Крім того, зміниться й векторний добуток, оскільки ми повинні правило правої руки замінити правилом лівої руки. Візьмемо інший приклад.
Відомо, що сила, яка діє на заряд у магнітному полі, дорівнює F=qv X В, але якщо ми від правої системи перейдемо до лівої, то, оскільки, як відомо, F і v — полярні вектори, зміна знака через наявність векторного добутку має компенсуватися зміною знака В, а це означає, що В має бути аксіальним вектором. Іншими словами, при такому відображенні В має переходити в —В. Таким чином, якщо ми змінюємо ліві координати на праві, то водночас потрібно північний полюс магніту змінити на південний.
Погляньмо на прикладі, як це все виходить. Нехай у нас є два магніти, схожі на зображені на фіг. 52.4. Один із магнітів виглядає точнісінько як дзеркальне відображення іншого, тобто витки його намотані в інший бік, і все, що відбувається всередині котушки, має бути точно обернено в інший бік; струм тече, як це показано на малюнку. Тепер із законів магнетизму (які ви хоч ще й не знаєте офіційно, але, мабуть, пам'ятаєте зі шкільного курсу) виходить, що магнітне поле спрямоване так, як це показано на малюнку. Там, де у першого магніту південний полюс, у другого магніту буде північний, бо в нього струм тече в інший бік, а магнітне поле перевернуте. Таким чином, виходить, що при переході від правої системи до лівої ми справді повинні замінити північний полюс на південний!
Але північний і південний полюси — це просто домовленість, і заміна їх ще нічого не означає. Погляньмо на саме явище. Припустімо, що електрон рухається від нас через магнітне поле перпендикулярно до площини сторінки. Тоді, якщо скористатися формулою для сили v X В (не забудьте, що електрон негативний!), ми отримаємо, що відповідно до цього фізичного закону електрон має відхилятися у вказаному напрямку. Таким чином, явище полягає ось у чому. Якщо в котушці в певному напрямку тече струм, то електрон якось відхиляється. Це і є фізика, і неважливо, як ми будемо називати все по дорозі.
А тепер проведімо той самий дослід із дзеркально відображеним магнітом: пошлемо електрон у відповідному напрямку. Тепер на нього діятиме обернена сила. Обчисливши її за тими самими правилами, ми отримаємо правильний результат: відповідний рух буде дзеркальним відображенням попереднього!
Уявіть собі, що якийсь пустотливий чортик, вирішивши пожартувати над фізиками, пробрався в усі лабораторії і всюди замінив слово «праве» на «ліве». І в результаті, де було написано правило правої руки, ми були б змушені користуватися правилом лівої руки. Ну що ж, фізики просто не помітили б цього, бо ні до якої зміни у фізичних законах це б не призвело, звісно, якщо фізичні закони симетричні.
Покажімо це на прикладі. Ви знаєте, що існують два сорти векторів. Є звичайні, «справжні» вектори, подібні, наприклад, до відрізка відстані Δr у просторі. Нехай у нашій апаратурі щось знаходиться «тут», а щось інше — «там», тоді ті самі «щось» будуть присутні й у дзеркально відображеній апаратурі. Якщо ми в обох випадках проведемо вектори від «сюди» до «туди», то один вектор буде відображенням іншого (фіг. 52.2), причому напрямок стрілки вектора точно, як і весь простір, «вивертається навиворіт». Такі вектори ми називаємо полярними.Але другий сорт векторів, пов'язаних з обертанням, має зовсім іншу природу. Уявіть собі щось, що обертається в тривимірному просторі (фіг. 52.3). Якщо подивитися на це в дзеркало, то обертання відбуватиметься так, як показано на малюнку, тобто як дзеркальне зображення початкового обертання. Домовимося тепер представляти дзеркальне обертання за допомогою того самого правила. У результаті ми отримаємо «вектор», який на відміну від полярного вектора не змінюється при відображенні й виявляється перевернутим по відношенню до полярного вектора і геометрії всього простору. Такий вектор ми називаємо аксіальним.Якщо фізичний закон симетрії щодо відображення правильний, то рівняння мають бути влаштовані так, щоб при зміні знака кожного аксіального вектора і кожного векторного добутку (що відповідає відображенню) нічого не сталося. Наприклад, коли ми пишемо формулу для моменту кількості руху L = r X p, то тут усе гаразд, тому що при переході в ліву систему координат ми змінюємо знак L, а знак р і r не змінюється. Крім того, зміниться й векторний добуток, оскільки ми повинні правило правої руки замінити правилом лівої руки. Візьмемо інший приклад.
Відомо, що сила, яка діє на заряд у магнітному полі, дорівнює F=qv X В, але якщо ми від правої системи перейдемо до лівої, то, оскільки, як відомо, F і v — полярні вектори, зміна знака через наявність векторного добутку має компенсуватися зміною знака В, а це означає, що В має бути аксіальним вектором. Іншими словами, при такому відображенні В має переходити в —В. Таким чином, якщо ми змінюємо ліві координати на праві, то водночас потрібно північний полюс магніту змінити на південний.
Погляньмо на прикладі, як це все виходить. Нехай у нас є два магніти, схожі на зображені на фіг. 52.4. Один із магнітів виглядає точнісінько як дзеркальне відображення іншого, тобто витки його намотані в інший бік, і все, що відбувається всередині котушки, має бути точно обернено в інший бік; струм тече, як це показано на малюнку. Тепер із законів магнетизму (які ви хоч ще й не знаєте офіційно, але, мабуть, пам'ятаєте зі шкільного курсу) виходить, що магнітне поле спрямоване так, як це показано на малюнку. Там, де у першого магніту південний полюс, у другого магніту буде північний, бо в нього струм тече в інший бік, а магнітне поле перевернуте. Таким чином, виходить, що при переході від правої системи до лівої ми справді повинні замінити північний полюс на південний!Але північний і південний полюси — це просто домовленість, і заміна їх ще нічого не означає. Погляньмо на саме явище. Припустімо, що електрон рухається від нас через магнітне поле перпендикулярно до площини сторінки. Тоді, якщо скористатися формулою для сили v X В (не забудьте, що електрон негативний!), ми отримаємо, що відповідно до цього фізичного закону електрон має відхилятися у вказаному напрямку. Таким чином, явище полягає ось у чому. Якщо в котушці в певному напрямку тече струм, то електрон якось відхиляється. Це і є фізика, і неважливо, як ми будемо називати все по дорозі.
А тепер проведімо той самий дослід із дзеркально відображеним магнітом: пошлемо електрон у відповідному напрямку. Тепер на нього діятиме обернена сила. Обчисливши її за тими самими правилами, ми отримаємо правильний результат: відповідний рух буде дзеркальним відображенням попереднього!