Ми хочемо описати поведінку однієї або кількох молекул, які чимось відрізняються від величезної більшості інших молекул газу. Будемо називати «більшість» молекул молекулами «фону», а молекули, що відрізняються від них, отримають назву «особливих» молекул, або (скорочено) S-молекул. Молекула може бути особливою з цілої низки причин: вона може бути, скажімо, важчою за молекули фону. Може вона відрізнятися від них і хімічним складом. А може бути, що особливі молекули несуть електричний заряд — тоді це буде іон на фоні нейтральних молекул. Через незвичність мас або зарядів на S-молекули діють сили, що відрізняються від сил між молекулами фону. Вивчаючи поведінку S-молекул, можна зрозуміти основні ефекти, які вступають у гру в багатьох різноманітних явищах. Перелічимо деякі з них: дифузія газів, електричний струм у батареї, осадження, розділення за допомогою центрифуги тощо.
Почнемо з вивчення основного процесу: на S-молекулу в газі з молекул фону діє якась особлива сила F (це може бути сила тяжіння або електрична сила) і, крім того, звичайніші сили, зумовлені зіткненнями з молекулами фону. Нас цікавить загальний характер поведінки S-молекули. Детальний опис її поведінки — це безперервні стрімкі удари й одні за одними зіткнення з іншими молекулами. Але якщо простежити уважно, стане зрозуміло, що молекула неухильно рухається в напрямку сили F. Ми говоримо, що дрейф накладається на безладний рух. Але нам хотілося б знати, як залежить швидкість дрейфу від сили F.
Якщо в якийсь довільний момент часу почати спостерігати за S-молекулою, то можна сподіватися, що потрапили ми якраз десь між двома зіткненнями. Цей час молекула вжиє на те, щоб на додаток до швидкості, що лишилася в неї після всіх зіткнень, збільшити складову швидкості вздовж сили F. Трохи згодом (у середньому через час τ) вона знову зазнає зіткнення і почне рухатися новою ділянкою своєї траєкторії. Стартова швидкість, звісно, буде іншою, а прискорення від сили F залишиться незмінним.
Щоб зараз спростити справу, припустімо, що після кожного зіткнення наша S-молекула виходить на цілком «вільний» старт. Це означає, що в неї не лишилося жодних спогадів про попередні прискорення під дією сили F. Таке припущення було б розумним, якби наша S-молекула була набагато легшою за молекули фону, але це, звісно, не так. Пізніше ми обговоримо розумніше припущення.
А поки припустімо, що всі напрямки швидкості S-молекули після кожного зіткнення рівноймовірні. Стартова швидкість має будь-який напрямок і не може дати жодного внеску в результуючий рух, тому ми не будемо брати до уваги початкову швидкість після кожного зіткнення. Але, крім випадкового руху, кожна S-молекула в будь-який момент має додаткову швидкість у напрямку сили F, яка зростає від часу останнього зіткнення. Чому дорівнює середнє значення цієї частини швидкості? Воно дорівнює добутку прискорення F/m (де m — маса S-молекули) на середній час, що минув із моменту останнього зіткнення. Але середній час, що минув після останнього зіткнення, повинен дорівнювати середньому часу перед наступним зіткненням, який ми вже позначили буквою τ. Середня швидкість, породжувана силою F,— це якраз швидкість дрейфу; таким чином, ми прийшли до співвідношення
Зображення
Це наше основне співвідношення, головне в усьому розділі. При знаходженні τ можуть з'явитися всілякі ускладнення, але основний процес визначається рівнянням (43.13).
Зверніть увагу, що швидкість дрейфу пропорційна силі. На жаль, про назву для сталої пропорційності ще не домовилися. Коефіцієнт перед силою кожного сорту має свою назву. У задачах, пов'язаних з електрикою, силу можна подати як добуток заряду на електричне поле: F=qE; у цьому випадку сталу пропорційності між швидкістю і електричним полем Е називають «рухливістю». Незважаючи на можливі непорозуміння, ми будемо застосовувати термін рухливість для відношення швидкості дрейфу до сили будь-якого сорту. Будемо писати
Зображення
і називати µ рухливістю. З рівняння (43.13) випливає
Зображення
Рухливість пропорційна середньому часу між зіткненнями (рідкісні зіткнення слабко гальмують S-молекулу) і обернено пропорційна масі (чим більша інерція, тим повільніше набирається швидкість між зіткненнями).
Щоб отримати правильний числовий коефіцієнт у рівнянні (43.13) (а в нас він правильний), потрібна певна обережність. Щоб уникнути непорозумінь, треба пам'ятати, що ми використовуємо підступні аргументи, і застосовувати їх можна тільки після обережного і детального вивчення. Щоб показати, які бувають труднощі, хоча на вигляд наче все благополучно, ми знову повернемося до тих аргументів, які привели до виведення рівняння (43.13), але ці аргументи, які виглядають цілком переконливо, приведуть тепер до неправильного результату (на жаль, такого роду міркування можна знайти в багатьох підручниках!).
Можна міркувати так: середній час між зіткненнями дорівнює τ. Після зіткнення частинка, почавши рухатися з випадковою швидкістю, набирає перед наступним зіткненням додаткову швидкість, яка дорівнює добутку часу на прискорення. Оскільки до наступного зіткнення мине час τ, то частинка набере швидкість (F/m)τ. У момент зіткнення ця швидкість дорівнює нулю. Тому середня швидкість між двома зіткненнями дорівнює половині кінцевої швидкості, а середня швидкість дрейфу дорівнює 1/2Fτ/m. (Неправильно!) Цей висновок неправильний, а рівняння (43.13) правильне, хоча, здавалося б, в обох випадках ми міркували однаково переконливо. У другий результат закралася доволі підступна помилка: при його виведенні ми фактично припустили, що всі зіткнення віддалені одне від одного на час τ. Насправді деякі з них настають раніше, а інші пізніше за цей час. Коротші проміжки часу трапляються частіше, але їхній внесок у швидкість дрейфу невеликий, тому що надто мала в цьому разі ймовірність «реального підштовхування вперед». Якщо взяти до уваги існування розподілу вільного часу між зіткненнями, то ми побачимо, що множнику 1/2, отриманому в другому випадку, нізвідки взятися. Помилка сталася через те, що ми, ошукавшись простотою аргументів, спробували надто просто пов'язати середню швидкість із середньою кінцевою швидкістю. Зв'язок між ними не такий уже простий, тому краще підкреслити, що нам потрібна середня швидкість сама по собі. У першому випадку ми із самого початку шукали середню швидкість і знайшли її правильне значення! Можливо, тепер вам зрозуміло, чому ми не намагалися знайти точного значення всіх числових коефіцієнтів у наших елементарних рівняннях?
Повернімося до нашого припущення про те, що кожне зіткнення повністю стирає з пам'яті молекули все про її колишній рух і що після кожного зіткнення для молекули починається новий старт. Припустімо, що наша S-молекула — це важкий об'єкт на фоні легших молекул. Тоді вже недостатньо одного зіткнення, щоб відібрати в S-молекули її спрямований «вперед» імпульс. Тільки кілька послідовних зіткнень вносять у її рух «безлад». Отже, замість нашого початкового міркування припустімо тепер, що після кожного зіткнення (у середньому через час τ) S-молекула втрачає певну частину свого імпульсу. Ми не будемо досліджувати детально, до чого приведе таке припущення. Зрозуміло, що це еквівалентно заміні часу τ (середнього часу між зіткненнями) іншим, довшим τ, що відповідає середньому «часу забування», тобто середньому часу, за який S-молекула забуде про те, що в неї колись був імпульс, спрямований уперед. Якщо розуміти τ так, то можна використовувати нашу формулу (43.15) для випадків, не таких простих, як початковий.