Тензор напружень

Симетричні тензори, які нам траплялися дотепер, виникали як коефіцієнти, що пов'язують один вектор з іншим. Тепер я познайомлю вас із тензором, що має зовсім інший фізичний зміст,— це тензор напружень. Припустимо, що на тверде тіло діють різні зовнішні сили. Ми кажемо, що всередині тіла виникають різні «напруження», маючи при цьому на увазі внутрішні сили між суміжними частинами матеріалу. Ми вже трохи говорили про подібні напруження у двовимірному випадку, коли розглядали поверхневий натяг напруженої діафрагми (див. розд. 12, § 3, вип. 5). А тепер ви побачите, що внутрішні сили в матеріалі тривимірного тіла записуються у вигляді тензора.
Розглянемо тіло з якогось пружного матеріалу, наприклад брусок із желе. Якщо ми розріжемо цей брусок, то матеріал на кожній стороні розрізу буде, узагалі кажучи, зазнавати переміщення під дією внутрішніх сил. До того як було зроблено розріз, між цими двома частинами мали діяти сили, які утримували обидві частини в єдиному шматку; ми можемо виразити напруження через ці сили. Уявіть собі, що ми дивимося на уявну площину, перпендикулярну до осі x, подібну до площини σ на фіг. 31.5, і цікавимося силами, що діють на маленькій площадці ΔyΔz, розташованій у цій площині. Матеріал, що знаходиться зліва від площадки, діє на матеріал з правого боку із силою ΔF₁ (фіг. 31.5, б). Є, звісно, і зворотна реакція, тобто на матеріал зліва від поверхні діє сила  –ΔF₁. Якщо площадка досить мала, то ми очікуємо, що сила ΔF₁ пропорційна площі ΔyΔz.
Ви вже знайомі з одним видом напружень — статичним тиском рідини. Там сила дорівнювала тиску, помноженому на площу, і була спрямована під прямим кутом до елемента поверхні. Для твердого тіла, а також рухомої в'язкої рідини сила не обов'язково перпендикулярна до поверхні: крім тиску (додатного або від'ємного), з'являється ще й зсувна сила. (Під «зсувною» силою ми розуміємо тангенціальні компоненти сил, що діють на поверхні.) Для цього потрібно враховувати всі три компоненти сили. Зауважте ще, що якщо розріз ми зробимо по площині з якоюсь іншою орієнтацією, то діючі на ній сили теж будуть іншими. Повний опис внутрішніх напружень вимагає застосування тензорів.
 
Визначимо тензор напружень таким чином. Уявіть спочатку розріз, перпендикулярний до осі x, і розкладіть силу ΔF₁, що діє на розрізі, на її компоненти: ΔF_x1 , ΔF_y1, ΔF_z1 (фіг. 31.6).  Відношення  цих сил до площі ΔyΔz ми назвемо S _xx , S_yx і S_zx. Наприклад,

Перший індекс y стосується напрямку компоненти сили, а другий x — напрямку нормалі до площини. Якщо завгодно, площу ΔyΔz можна записати як Δа_x, маючи на увазі елемент площі, перпендикулярний до осі x, тобто

А тепер уявіть собі розріз, перпендикулярний до осі y. Нехай на маленьку площадку ΔxΔz діє сила ΔF₂. Розкладаючи знову цю силу на три компоненти, як показано на фіг. 31.7, ми визначаємо три компоненти напруження S_xy , S_yy , S_zy як сили, що діють на одиничну   площу в цих трьох напрямках. Нарешті, проведемо уявний розріз, перпендикулярний до осі z, і визначимо три компоненти S_xz, S_yz   і S_zz. Таким чином, виходить дев'ять чисел:

Я хочу тепер показати, що цих дев'яти величин досить, щоб повністю описати внутрішній напружений стан, і що S_ij —дійсно тензор. Припустимо, що ми хочемо знати силу, яка діє на поверхню, нахилену під якимось довільним кутом. Чи можна знайти її, виходячи з S_ij? Можна, і робиться це так. Уявіть маленьку призму, одна грань N якої нахилена, а інші — паралельні осям координат. Якщо виявиться, що грань N паралельна осі z, то вийде картина, зображена на фіг. 31.8. (Це, звісно, окремий випадок, але він достатньо добре ілюструє загальний метод.) Далі, напруження, що діють на цю призмочку, мають бути такими, щоб вона перебувала в рівновазі (принаймні в границі нескінченно малого розміру), тож повна сила, що діє на неї, має дорівнювати нулю. Сили, що діють на грані, паралельні осям координат, відомі нам безпосередньо з тензора S_ij. А їхня векторна сума має дорівнювати силі, що діє на грань N, тож цю силу можна виразити через S_ij .
 
Наше припущення, що поверхневі сили, які діють на малий об'єм, перебувають у рівновазі, передбачає відсутність об'ємних сил, подібних до сили тяжіння або псевдосил, які теж можуть бути присутні, якщо наша система координат не інерціальна. Зауважте, однак, що такі об'ємні сили будуть пропорційні об'єму призмочки і тому пропорційні Δx, Δy, Δz, тоді як поверхневі сили пропорційні ΔxΔy, ΔyΔz і т. п. Отже, якщо розмір призмочки взяти достатньо малим, то об'ємні сили будуть незначні порівняно з поверхневими.
 
А тепер складемо сили, що діють на нашу призмочку. Візьмемося спочатку за x-компоненту, яка складається з п'яти частин, по одній від кожної грані. Але якщо Δz досить мале, то сили від трикутних граней (перпендикулярних до осі z) будуть рівні одна одній і протилежні за напрямком, тому про них можна забути. На основу призми діє x-компонента сили, що дорівнює

а x-компонента сили, що діє на вертикальну прямокутну грань, дорівнює

Сума цих двох сил має дорівнювати x-компоненті сили, що діє ззовні на грань N. Позначимо через n одиничний вектор нормалі до грані N, а через F_n — силу, що діє на неї, тоді отримаємо

Складова напруження за віссю x (S_xn), що діє в цій площині,  дорівнює  силі  ΔF_xn ,  поділеній  на  площу, тобто Δz√Δx²+Δy², або

Але, як видно з фіг. 31.8, відношення Δx/√Δx² + Δy² — це косинус кута θ між n і віссю y і може бути записаний як n_y, тобто y-компонента вектора n. Аналогічно, Δу/√Δx² + Δy² дорівнює sinθ=n_x. Тому ми можемо написати

Якщо тепер узагальнити це на довільний елемент поверхні, то ми отримаємо

або в ще більш загальній формі:

Тож ми справді можемо виразити силу, що діє на довільну площу, через елементи S_ij і повністю описати внутрішнє напруження.
 
Рівняння (31.24) каже, що тензор S_ij пов'язує силу S_n з одиничним вектором n точно так само, як α_ij пов'язує Р з Е. Але оскільки n і S_n — вектори, то компоненти S_ij при зміні осей координат мають перетворюватися як тензор. Тож S_ij дійсно тензор.
Можна також довести, що S_ij — симетричний тензор. Для цього потрібно звернути увагу на сили, що діють на маленький кубик у матеріалі. Візьмемо кубик, грані якого паралельні осям координат, і подивимося на його розріз (фіг. 31.9). Якщо припустити, що  ребра   куба   дорівнюють  одиниці, то x- і y-компоненти сил на гранях, перпендикулярних до осей x і y, мають бути такими, як показано на малюнку. Якщо взяти достатньо маленький кубик, можна сподіватися, що напруження на його протилежних гранях відрізнятиметься ненабагато, а тому компоненти сил мають бути рівними й протилежними, як це показано на малюнку. Зауважте тепер, що на кубик не повинен діяти жоден момент сил, інакше кубик почав би обертатися. Але повний момент відносно центра дорівнює добутку (S_yx—S_xy ) на одиничну довжину ребра куба, а оскільки повний момент дорівнює нулю, то S_yx має дорівнювати S_xy , і тензор напружень, таким чином, виявляється симетричним.
 
Завдяки цій симетрії тензора S_ij його теж можна описувати еліпсоїдом із трьома головними осями. Напруження має особливо простий вигляд на площадках, нормальних до цих осей: воно відповідає чистому стиску або розтягу в напрямку головних осей. Уздовж цих площадок немає жодних зсувних сил, причому такі осі, для яких відсутні зсувні сили, можна вибрати для будь-якого напруження. Якщо еліпсоїд перетворюється на сферу, то в будь-якому напрямку діють лише нормальні сили. Це відповідає гідростатичному тиску (додатному або від'ємному). Таким чином, для гідростатичного тиску тензор діагональний, причому всі три його компоненти дорівнюють одна одній (фактично вони просто дорівнюють тиску р). У цьому випадку ми можемо написати

Узагалі кажучи, тензор напружень у шматку твердого тіла, а також його еліпсоїд змінюються від точки до точки, тому для опису всього шматка ми повинні задати кожну компоненту S_ij як функцію положення. Тензор напружень, таким чином, є полем. Ми вже мали приклади скалярних полів, подібних до температури Т(x, y, z), і векторних полів, подібних до Е(x, y, z), які в кожній точці задавалися трьома числами. А тепер перед нами приклад тензорного поля, що задається в кожній точці простору дев'ятьма числами, з яких для симетричного тензора S_ij реально залишається тільки шість. Повний опис внутрішніх сил у довільному твердому тілі вимагає знання шести функцій координат x, у і z.