Тензори вищих рангів

Тензор напружень S_ij описує внутрішні сили у речовині. Якщо при цьому матеріал пружний, то внутрішні деформації зручно описувати за допомогою іншого тензора T_ij-— так званого тензора деформацій. Для простого об'єкта, подібного до бруска з металу, зміна довжини ΔL, як ви знаєте, приблизно пропорційна силі, тобто він підпорядковується закону Гука

Для довільних деформацій пружного твердого тіла тензор деформацій T_ij пов'язаний з тензором напружень S_ij системою лінійних рівнянь

Ви знаєте також, що потенціальна енергія пружини (або бруска) дорівнює

а узагальненням густини пружної енергії для твердого тіла буде вираз

Повний опис пружних властивостей кристала має задаватися коефіцієнтами γ_ijkl. Це знайомить нас із новим звіром — тензором четвертого рангу. Оскільки кожен з індексів може набувати одного з трьох значень — х, у або z, то всього виходить 3⁴=81 коефіцієнт. Але різних з них насправді тільки 21. По-перше, оскільки тензор S_ij симетричний, у нього залишається тільки шість різних величин, і тому в рівнянні (31.27) потрібні тільки 36 різних коефіцієнтів. Далі, не змінюючи енергії, ми можемо переставити S_ij і S_kl , так що γ_ijkl має бути симетричним при перестановці пари індексів ij і kl. Це зменшує число коефіцієнтів до 21. Отже, щоб описати пружні властивості кристала найнижчої можливої симетрії, потрібна 21 пружна стала! Звісно, для кристалів із вищою симетрією число потрібних сталих зменшується. Так, кубічний кристал описується всього трьома пружними сталими, а для ізотропної речовини вистачить і двох.
 
У справедливості останнього твердження можна переконатися таким чином. У випадку ізотропного матеріалу компоненти γ_ijkl не повинні залежати від повороту осей. Як це може бути? Відповідь: вони можуть бути незалежними, тільки коли виражаються через тензори δ_ij. Але існує лише два можливих вирази, що мають потрібну симетрію,— це δ_ijδ_kl і δ_ikδ_jl+δ_ilδ_jk , так що γ_ijkl має бути їхньою лінійною комбінацією.  Таким  чином,  для  ізотропного  матеріалу

отже, щоб описати пружні властивості матеріалу, потрібні дві сталі: a і b. Я лишаю вам самим довести, що для кубічного кристала потрібні три такі сталі.
 
І ще один, останній приклад (цього разу приклад тензора третього рангу) дає нам п'єзоелектричний ефект. У напруженому стані в кристалі виникає електричне поле, пропорційне тензору напружень. Загальний закон пропорційності має вигляд

де E_i— електричне поле, a P_ijk— п'єзоелектричні коефіцієнти (п'єзомодулі), що становлять тензор. Чи можете ви самі довести, що якщо в кристала є центр інверсії (тобто якщо він інваріантний відносно заміни х, y, z→ –х,–y,– z), то всі його п'єзоелектричні коефіцієнти дорівнюють нулю.