Потренуємося тепер у поводженні з тензорами. Розглянемо таке цікаве питання: яка енергія потрібна для поляризації кристала (на додачу до енергії електричного поля, яка, як відомо, дорівнює ε0Е2/2 на одиницю об'єму)? Уявіть на хвилину атомні заряди, які мають бути переміщені. Робота, потрібна для переміщення одного такого заряду на відстань dx, дорівнює qExdx, а якщо таких зарядів в одиниці об'єму міститься N штук, то для їх переміщення потрібна робота qExNdx. Але qNdx дорівнює зміні дипольного моменту одиниці об'єму dPx. Тож робота, витрачена на одиницю об'єму, дорівнює
Зображення
Додаючи тепер роботи всіх трьох компонент, знайдемо, якою має бути робота в одиниці об'єму:
Зображення
Але оскільки величина Р пропорційна Е, то робота, витрачена на поляризацію одиниці об'єму від 0 до Р, дорівнює інтегралу від E·dP. Позначаючи її через иp , можна написати
Зображення
Тепер можна скористатися рівнянням (31.5) і виразити Р через Е. У результаті отримаємо
Зображення
Густина енергії иp — величина, що не залежить від вибору осей, тобто скаляр. Таким чином, тензор має ту властивість, що, будучи просумований за одним індексом (з вектором), він дає новий вектор, а будучи просумований за обома індексами (з двома векторами), дає скаляр.
Тензор αij насправді слід називати «тензором другого рангу», бо в нього два індекси. У цьому сенсі вектор, у якого всього один індекс, можна назвати «тензором першого рангу», а скаляр, у якого взагалі немає індексів,— «тензором нульового рангу». Отже, виходить, що електричне поле Е буде тензором першого рангу, а густина енергії иp — тензором нульового рангу. Цю ідею можна поширити на тензори з трьома й більше індексами і визначити тензори, ранг яких вищий за два.
Індекси нашого тензора поляризовності можуть набувати трьох різних значень, тобто це тривимірний тензор. Математики розглядають також тензори розмірності чотири, п'ять і більше. До речі, чотиривимірний тензор нам уже траплявся при релятивістському описі електромагнітного поля (див. розд. 26, вип. 6) — це Fμv .
Тензор поляризовності αij має одну цікаву властивість: він симетричний, тобто αxy = αyx і т. п. для будь-якої пари індексів. (Ця властивість відображає фізичні якості реального кристала, і зовсім не обов'язково притаманна будь-якому тензору.) Ви можете самостійно довести це, підрахувавши зміни енергії кристала за такою схемою:
1) увімкніть електричне поле в напрямку осі x;
2) увімкніть поле в напрямку осі y;
3) вимкніть х-поле;
4) вимкніть y-поле.
Тепер кристал повернувся до попереднього положення, і повна робота, витрачена на поляризацію, має дорівнювати нулю. Але для цього, як ви можете переконатися, αxy має дорівнювати αyx . Однак ті самі міркування можна провести і для αxz і т. д. Таким чином, тензор поляризовності симетричний.
Це означає також, що тензор поляризовності можна знайти простим вимірюванням енергії, потрібної для поляризації кристала в різних напрямках. Припустимо, ми спочатку взяли електричне поле Е з компонентами x і y; тоді, згідно з рівнянням (31.7),
Тензор αij насправді слід називати «тензором другого рангу», бо в нього два індекси. У цьому сенсі вектор, у якого всього один індекс, можна назвати «тензором першого рангу», а скаляр, у якого взагалі немає індексів,— «тензором нульового рангу». Отже, виходить, що електричне поле Е буде тензором першого рангу, а густина енергії иp — тензором нульового рангу. Цю ідею можна поширити на тензори з трьома й більше індексами і визначити тензори, ранг яких вищий за два.
Індекси нашого тензора поляризовності можуть набувати трьох різних значень, тобто це тривимірний тензор. Математики розглядають також тензори розмірності чотири, п'ять і більше. До речі, чотиривимірний тензор нам уже траплявся при релятивістському описі електромагнітного поля (див. розд. 26, вип. 6) — це Fμv .
Тензор поляризовності αij має одну цікаву властивість: він симетричний, тобто αxy = αyx і т. п. для будь-якої пари індексів. (Ця властивість відображає фізичні якості реального кристала, і зовсім не обов'язково притаманна будь-якому тензору.) Ви можете самостійно довести це, підрахувавши зміни енергії кристала за такою схемою:
1) увімкніть електричне поле в напрямку осі x;
2) увімкніть поле в напрямку осі y;
3) вимкніть х-поле;
4) вимкніть y-поле.
Тепер кристал повернувся до попереднього положення, і повна робота, витрачена на поляризацію, має дорівнювати нулю. Але для цього, як ви можете переконатися, αxy має дорівнювати αyx . Однак ті самі міркування можна провести і для αxz і т. д. Таким чином, тензор поляризовності симетричний.
Це означає також, що тензор поляризовності можна знайти простим вимірюванням енергії, потрібної для поляризації кристала в різних напрямках. Припустимо, ми спочатку взяли електричне поле Е з компонентами x і y; тоді, згідно з рівнянням (31.7),
Зображення
Якби в нас була тільки одна компонента Еx , ми могли б визначити αxx, а з однією компонентою Еy можна визначити αyy . Увімкнувши обидві компоненти Еx і Еy ми через присутність члена (αху+αyx) отримаємо додаткову енергію, а оскільки αху і αyx рівні, то цей член перетворюється на 2αху і може бути обчислений із додаткової енергії.
Вираз для енергії (31.8) має дуже гарну геометричну інтерпретацію. Припустимо, що нас цікавить, які поля Еx і Еy відповідають заданій густині енергії, скажімо и0. Виникає суто математична задача розв'язання рівняння
Вираз для енергії (31.8) має дуже гарну геометричну інтерпретацію. Припустимо, що нас цікавить, які поля Еx і Еy відповідають заданій густині енергії, скажімо и0. Виникає суто математична задача розв'язання рівняння
Зображення
Це рівняння другого степеня, тож якщо ми відкладемо на осях величини Еx і Еy , розв'язком цього рівняння будуть усі точки еліпса (фіг. 31.2). (Це має бути саме еліпс, а не парабола і не гіпербола — адже енергія поля завжди додатна і скінченна.) А саме Е з компонентами Еx і Еy являє собою вектор, що йде з початку координат до точки на еліпсі. Такий «енергетичний еліпс» — гарний спосіб «побачити» тензор поляризовності.
Якщо тепер пустити в діло всі три компоненти, то будь-який вектор Е, потрібний для створення одиничної густини енергії, задається точками, розташованими на еліпсоїді, подібному до зображеного на фіг. 31.3. Форма цього еліпсоїда сталої енергії однозначно характеризує тензор поляризовності.Зауважте тепер, що еліпсоїд має дуже цікаву властивість — його завжди можна описати простим заданням напрямку трьох «головних осей» і діаметрів еліпсоїда за цими осями. Такими «головними осями» є напрямки найменшого й найбільшого діаметра та напрямок, перпендикулярний до них. На фіг. 31.3 вони позначені літерами а, b і с. Відносно цих осей рівняння еліпсоїда має особливо просту форму:
Зображення
Отже, відносно головних осей у тензора поляризовності залишаться тільки три ненульові компоненти αаа, αbb і αсс. Іншими словами, хоч би яким складним був кристал, завжди можна вибрати осі так (вони не обов'язково будуть осями самого кристала), що в тензора поляризовності залишиться тільки три компоненти. Рівняння (31.4) для таких осей стає особливо простим:
Зображення
Іншими словами, електричне поле, спрямоване вздовж будь-якої однієї з головних осей, дає поляризацію, спрямовану вздовж тієї ж осі, але, звісно, для різних осей коефіцієнти будуть різними.
Тензор часто записують у вигляді таблиці з дев'яти коефіцієнтів, узятих у дужки:
Тензор часто записують у вигляді таблиці з дев'яти коефіцієнтів, узятих у дужки:
Зображення
Для головних же осей a, b і с у таблиці залишаються тільки діагональні члени, тому ми кажемо, що тензор стає «діагональним», тобто
Зображення
Найважливіше тут те, що до такої форми відповідним вибором осей координат можна привести будь-який тензор поляризовності (фактично будь-який симетричний тензор другого рангу з яким завгодно числом вимірів).
Якщо всі три елементи тензора поляризовності в діагональній формі дорівнюють один одному, тобто якщо
Якщо всі три елементи тензора поляризовності в діагональній формі дорівнюють один одному, тобто якщо
Зображення
то еліпсоїд енергії перетворюється на сферу, поляризовність в усіх напрямках стає однаковою, а матеріал ізотропним. У тензорних позначеннях
Зображення
Тензор δij часто називають також «символом Кронекера». Заради розваги ви можете довести, що тензор (31.14) після заміни однієї прямокутної системи координат на іншу матиме точнісінько ту саму форму. Тензор поляризовності типу (31.13) дає
Зображення
тобто виходить наш старий результат для ізотропного діелектрика:
Зображення
Форму й орієнтацію еліпсоїда поляризовності іноді можна пов'язати з властивостями симетрії кристала. У розд. 30 ми вже говорили, що тривимірна ґратка має 230 різних можливих внутрішніх симетрій і що для багатьох цілей їх зручно поділити на 7 класів відповідно до форми елементарної комірки. Еліпсоїд поляризовності повинен відображати геометрію внутрішньої симетрії кристала. Наприклад, триклінний кристал має найнижчу симетрію; у нього всі три осі еліпсоїда різні, і напрямки їх, узагалі кажучи, не збігаються з напрямком осей кристала. Симетричніший моноклінний кристал має ту особливість, що його властивості не змінюються при повороті кристала на 180° відносно однієї осі, тому тензор поляризовності при такому повороті має залишитися тим самим. Звідси випливає, що еліпсоїд поляризовності при повороті на 180° має переходити сам у себе. Але таке може статися тільки тоді, коли одна з осей еліпсоїда збігається з напрямком осі симетрії кристала. В інших же відношеннях орієнтація й розміри еліпсоїда можуть бути якими завгодно.
Осі еліпсоїда ромбічного кристала мають збігатися з кристалічними осями, оскільки обертання такого кристала на 180° навколо будь-якої осі повторює ту саму кристалічну ґратку. Якщо ж узяти тетрагональний кристал, то еліпсоїд теж повинен повторювати його симетрію, тобто два з його діаметрів мають бути рівними між собою. Нарешті, для кубічного кристала рівними мають бути всі три діаметри еліпсоїда — він перетворюється на сферу, і поляризовність кристала однакова в усіх напрямках.
Існує дуже серйозна гра, що полягає у з'ясуванні всіх можливих властивостей тензорів для всіх можливих симетрій кристала. Вона має хитромудру назву «теоретико-груповий аналіз». Однак для простих випадків тензора поляризовності побачити, якою має бути ця залежність, відносно легко.
Осі еліпсоїда ромбічного кристала мають збігатися з кристалічними осями, оскільки обертання такого кристала на 180° навколо будь-якої осі повторює ту саму кристалічну ґратку. Якщо ж узяти тетрагональний кристал, то еліпсоїд теж повинен повторювати його симетрію, тобто два з його діаметрів мають бути рівними між собою. Нарешті, для кубічного кристала рівними мають бути всі три діаметри еліпсоїда — він перетворюється на сферу, і поляризовність кристала однакова в усіх напрямках.
Існує дуже серйозна гра, що полягає у з'ясуванні всіх можливих властивостей тензорів для всіх можливих симетрій кристала. Вона має хитромудру назву «теоретико-груповий аналіз». Однак для простих випадків тензора поляризовності побачити, якою має бути ця залежність, відносно легко.