Векторний добуток

Самі того не підозрюючи, ви користуєтеся тензором другого рангу вже починаючи з розд. 20 (вип. 2). Справді, ми визначили там «момент сили, що діє в площині», наприклад τ_xy  , таким чином:

Узагальнюючи це визначення на три виміри, можна написати

Як бачите, величина τ_ij — це тензор другого рангу. Один зі способів переконатися в цьому — згорнути τ_ij з якимось вектором, скажімо з одиничним вектором е, тобто скласти

Якщо ця величина виявиться вектором, то τ_ij повинен перетворюватися як тензор — це просто наше визначення тензора. Підставляючи вираз для τ_ij, отримуємо

Оскільки скалярні добутки, природно, є скалярами, то обидва доданки в правій частині — вектори, як і їхня різниця. Тож τ_ij — дійсно тензор.
 
Однак τ_ij належить до особливого сорту тензорів, він антисиметричний, тобто

Тому в такого тензора є тільки три різні й ненульові компоненти: τ_xy , τ_yz і τ_zх. У розд. 20 (вип. 2) нам вдалося показати, що ці три члени майже «за щасливим випадком» перетворюються подібно до трьох компонент вектора; тому ми могли тоді визначити вектор

Я сказав «за випадковим збігом», тому що це відбувається тільки в тривимірному просторі. Наприклад, для чотирьох вимірів антисиметричний тензор другого рангу має шість різних ненульових членів, і його, звісно, не можна замінити вектором, у якого компонент лише чотири.
 
Точно так само як аксіальний вектор τ=r х F є тензором, за тими самими міркуваннями тензором буде і будь-який векторний добуток двох полярних векторів. На щастя, вони теж можуть бути подані у вигляді вектора (точніше, псевдовектора), що трохи полегшує нам всю математику.
 
Узагалі кажучи, для будь-яких двох векторів а і b дев'ять величин a_ib_j утворюють тензор (хоча для фізичних цілей він не завжди може бути корисним). Таким чином, для вектора положення r величини r_ir_j  є тензором, а оскільки δ_ij теж тензор, то ми бачимо, що права частина (31.20) справді є тензором. Подібним чином тензором буде і (31.22), оскільки обидва члени в правій частині — тензори.