Інші тензори. Тензор інерції

У фізиці є ще чимало інших прикладів тензорів. У металі, наприклад, або в якому-небудь іншому провіднику часто виявляється, що густина струму j приблизно пропорційна електричному полю Е, причому стала пропорційності зветься провідністю σ:

Однак для кристала співвідношення між j і Е складніше, провідність у різних напрямках не однакова. Вона стає тензором, тому ми пишемо

Іншим прикладом фізичного тензора є момент інерції. У розд. 18 (вип. 2) ми бачили, що момент кількості руху L твердого тіла, яке обертається відносно фіксованої осі, пропорційний кутовій швидкості ω, і коефіцієнт пропорційності / ми назвали моментом інерції:

Момент інерції тіла довільної форми залежить від його орієнтації відносно осі обертання. Моменти інерції прямокутного бруска, наприклад, відносно кожної з трьох ортогональних осей будуть різними. Але кутова швидкість ω і момент кількості руху L — обидва вектори. Для обертання відносно однієї з осей симетрії вони паралельні. Але якщо моменти інерції відносно кожної з трьох головних осей різні, то напрямки ω і L, узагалі кажучи, не збігаються (фіг. 31.4). Вони пов'язані точнісінько так само, як Е і Р, тобто ми повинні писати:

Дев'ять коефіцієнтів I_ij називають тензором інерції. За аналогією з поляризацією кінетична енергія для будь-якого моменту кількості руху має бути деякою квадратичною формою компонент ω_x, ω_y і ω_z:

Ми знову можемо скористатися цим виразом для визначення еліпсоїда інерції. Крім того, знову можна скористатися енергетичними міркуваннями й показати, що цей тензор симетричний, тобто I_ij= I_ji.
 
Тензор інерції твердого тіла можна написати, якщо відома форма тіла. Нам потрібно тільки виписати повну кінетичну енергію всіх частинок тіла. Частинка з масою m і швидкістю v має кінетичну енергію ¹/₂mv², а повна кінетична енергія дорівнює просто сумі

за всіма частинками тіла. Але швидкість v кожної частинки пов'язана з кутовою швидкістю ω твердого тіла. Припустимо, що тіло обертається відносно центра мас, який ми вважатимемо нерухомим. Якщо при цьому r — положення частинки відносно центра мас, то її швидкість v задається виразом ωX r. Тому повна кінетична енергія дорівнює

Єдине, що тепер потрібно зробити,— це переписати ω х r через компоненти ω_x, ω_y, ω_z і координати x, у, z, а потім порівняти результат із рівнянням (31.17); прирівнюючи коефіцієнти, знайдемо I_ij. Проробляючи всю цю алгебру, ми пишемо:

Множачи це рівняння на m/2, підсумовуючи за всіма частинками і порівнюючи з рівнянням (31.17), ми бачимо, що I_хх, наприклад, дорівнює

Це і є та формула для моменту інерції тіла відносно осі x, яку ми отримували вже раніше (розд. 19, вип. 2). Ну а оскільки r² = x² + y²+z², то цю ж формулу можна написати у вигляді

Виписавши решту членів тензора інерції, отримаємо

Якщо хочете, його можна записати в «тензорних позначеннях»:

де через r_i позначено компоненти (x, у, z) вектора положення частинки, а ∑ означає підсумовування за всіма частинками. Таким чином, момент інерції є тензором другого рангу, елементи якого визначаються властивостями тіла і який пов'язує момент кількості руху L з кутовою швидкістю ω:

Для будь-якого тіла незалежно від його форми можна знайти еліпсоїд енергії, а отже, і три головні осі. Відносно цих осей тензор буде діагональним, тож для будь-якого об'єкта завжди є три ортогональні осі, для яких момент кількості руху і кутова швидкість паралельні одна одній. Їх називають головними осями інерції.