Ви знаєте, що при заміні старих осей координат новими х′, у′ і z′ компоненти вектора Еx′ , Еy′ , Ez′ теж виявляються іншими. Те саме відбувається і з компонентами Р, тож для різних систем координат коефіцієнти αij виявляються різними. Однак цілком можна з'ясувати, як мають змінюватися α при належній зміні компонент Е і Р, бо якщо ми описуємо те саме електричне поле, але в новій системі координат, ми повинні отримати ту саму поляризацію Р. Для будь-якої нової системи координат Рx′ буде лінійною комбінацією Рx , Рy , і Pz:
Зображення
і аналогічно для інших компонент. Якщо замість Рx, Рy і Рz підставити їхні вирази через E згідно з (31.4), то вийде
Зображення
Тепер напишіть, як виражається Еx, Еy і Еz через Ех′ , Еy′ і Еz′ , наприклад,
Зображення
де числа а′, b′ і с′ пов'язані з числами а, b і c, але не дорівнюють їм. Таким чином, у вас вийшов вираз Рx′ через компоненти Еx′ , Еy′ і Ez′ , тобто вийшли нові αij. Ніяких хитрощів тут немає, хоча все це досить заплутано.
Коли ми говорили про перетворення осей, то вважали, що положення самого кристала зафіксоване в просторі. Якщо ж разом з осями повертати і кристал, то α не змінюються. І навпаки, якщо відносно осей змінювати орієнтацію кристала, то вийде новий набір коефіцієнтів α. Але якщо вони відомі для якоїсь однієї орієнтації кристала, то за допомогою щойно описаного перетворення їх можна знайти і для будь-якої іншої орієнтації. Іншими словами, діелектричні властивості кристала повністю описуються заданням компонент тензора поляризовності αij у будь-якій довільно вибраній системі координат. Точно так само як вектор швидкості v = (vx , vy , vz) можна пов'язати з частинкою, знаючи, що три його компоненти при заміні осей координат змінюватимуться певним визначеним чином, тензор поляризовності αij, дев'ять компонент якого при зміні системи осей координат перетворюються цілком визначеним чином, можна пов'язати з кристалом.
Зв'язок між Р і Е в рівнянні (31.4) можна записати в компактнішому вигляді:
Коли ми говорили про перетворення осей, то вважали, що положення самого кристала зафіксоване в просторі. Якщо ж разом з осями повертати і кристал, то α не змінюються. І навпаки, якщо відносно осей змінювати орієнтацію кристала, то вийде новий набір коефіцієнтів α. Але якщо вони відомі для якоїсь однієї орієнтації кристала, то за допомогою щойно описаного перетворення їх можна знайти і для будь-якої іншої орієнтації. Іншими словами, діелектричні властивості кристала повністю описуються заданням компонент тензора поляризовності αij у будь-якій довільно вибраній системі координат. Точно так само як вектор швидкості v = (vx , vy , vz) можна пов'язати з частинкою, знаючи, що три його компоненти при заміні осей координат змінюватимуться певним визначеним чином, тензор поляризовності αij, дев'ять компонент якого при зміні системи осей координат перетворюються цілком визначеним чином, можна пов'язати з кристалом.
Зв'язок між Р і Е в рівнянні (31.4) можна записати в компактнішому вигляді:
Зображення
де під значком i розуміється якась із трьох літер х, у або z, а підсумовування ведеться по j=х, у і z. Для роботи з тензорами придумано багато спеціальних позначень, але кожне з них зручне лише для обмеженого класу проблем. Одна з таких загальних угод полягає в тому, що можна не писати знак суми (∑) у рівнянні (31.5), розуміючи при цьому, що коли той самий індекс зустрічається двічі (у нашому випадку j), то потрібно просумувати за всіма значеннями цього індексу. Однак оскільки працювати з тензорами нам доведеться небагато, не будемо ускладнювати собі життя введенням якихось спеціальних позначень чи угод.