У фізиків є звичка брати найпростіший приклад якогось явища і називати його «фізикою», а приклади складніші віддавати на розтерзання інших наук, скажімо прикладної математики, електротехніки, хімії чи кристалографії. Навіть фізика твердого тіла для них лише «напівфізика», бо її хвилює надто багато спеціальних питань. Саме тому ми в наших лекціях відмовимося від багатьох цікавих речей. Наприклад, одна з найважливіших властивостей кристалів і взагалі більшості речовин—те, що їхня електрична,
поляризовність різна в різних напрямках. Якщо ви в якомусь напрямку прикладете електричне поле, то атомні, заряди трохи зсунуться і виникне дипольний момент; величина ж цього моменту дуже сильно залежить від напрямку прикладеного поля. А це, звісно, ускладнення. Щоб полегшити собі життя, фізики починають розмову зі спеціального випадку, коли поляризовність в усіх напрямках однакова. А інші випадки ми лишаємо іншим наукам. Тому для наших подальших розглядів нам зовсім не знадобиться те, про що ми збираємося говорити в цьому розділі.
Математика тензорів особливо корисна для опису властивостей речовин, які змінюються з напрямком, хоча це лише один із прикладів її використання. Оскільки більшість із вас не збираються стати фізиками, а мають намір займатися реальним світом, де залежність від напрямку досить сильна, то рано чи пізно вам знадобиться використовувати тензор. Отож, щоб у вас тут не було прогалини, я і збираюся розповісти вам про тензори, хоча й не дуже докладно. Я хочу, щоб ваше розуміння фізики було якомога повнішим. Електродинаміка, наприклад, у нас цілком завершений курс; вона така ж повна, як і будь-який курс електрики й магнетизму, навіть інститутський. А от механіка в нас не завершена, бо, коли ми її вивчали, ви ще не були настільки тверді в математиці, і ми не могли обговорювати такі розділи, як принцип найменшої дії, лагранжіани, гамільтоніани тощо, які становлять найбільш елегантний спосіб опису механіки. Однак повний звід законів механіки, за винятком теорії відносності, у нас усе ж таки є. Тією ж мірою, що й електрика та магнетизм, у нас завершено багато розділів. А от квантову механіку ми так і не завершимо; втім, треба щось лишити й на майбутнє! І все ж, що таке тензор, вам усе-таки слід знати вже зараз.
У розд. 30 ми підкреслювали, що властивості кристалічної речовини в різних напрямках різні — ми кажемо, що вона анізотропна. Зміна індукованого дипольного моменту зі зміною напрямку прикладеного електричного поля — це лише один приклад, але саме його ми й візьмемо як приклад тензора. Вважатимемо, що для заданого напрямку електричного поля індукований дипольний момент одиниці об'єму Р пропорційний напруженості прикладеного поля Е. (Для багатьох речовин при не надто великих Е це дуже добре наближення.) Нехай стала пропорційності буде α. Тепер ми хочемо розглянути речовини, у яких α залежить від напрямку прикладеного поля, наприклад відомий вам кристал турмаліну, що дає подвоєне зображення, коли дивишся крізь нього.
Припустимо, ми виявили, що для якогось вибраного кристала електричне поле Е1, спрямоване вздовж осі x, дає поляризацію Р1, спрямовану вздовж тієї ж осі, а однакове з ним за величиною електричне поле Е2, спрямоване вздовж осі y, призводить до якоїсь іншої поляризації Р2, теж спрямованої вздовж осі y. А що вийде, якщо електричне поле прикласти під кутом 45°? Ну, оскільки воно буде просто суперпозицією двох полів, спрямованих вздовж осей x і y, то поляризація Р дорівнює сумі векторів Р1 і Р2, як це показано на фіг. 31.1, а. Поляризація вже не паралельна напрямку електричного поля. Неважко зрозуміти, чому так відбувається. У кристалі є заряди, які легко зсунути вгору й вниз, але які дуже туго зсуваються убік. Якщо ж сила прикладена під кутом 45°, то ці заряди охочіше рухаються вгору, ніж убік. Через таку асиметрію внутрішніх пружних сил переміщення відбувається не за напрямком зовнішньої сили. Звісно, кут 45° нічим не виділений. Те, що індукована поляризація не спрямована за електричним полем, справедливо й у загальному випадку. Перед цим нам просто «пощастило» вибрати такі осі x і y, для яких поляризація Р була спрямована за полем Е. Якби кристал був повернений відносно осей координат, то електричне поле Е2, спрямоване вздовж осі y, викликало б поляризацію як за віссю y, так і за віссю x. Подібним чином поляризація Р, викликана полем, спрямованим уздовж осі x, теж мала б і x-, і y-компоненти. Тож замість фіг. 31.1, а ми отримали б щось схоже на фіг. 31.1, б. Але попри все це ускладнення, величина поляризації Р для будь-якого поля Е, як і раніше, пропорційна його величині.
Розглянемо тепер загальний випадок довільної орієнтації кристала відносно осей координат. Електричне поле, спрямоване вздовж осі x, дає поляризацію Р з компонентами за всіма трьома осями, тому ми можемо написати
поляризовність різна в різних напрямках. Якщо ви в якомусь напрямку прикладете електричне поле, то атомні, заряди трохи зсунуться і виникне дипольний момент; величина ж цього моменту дуже сильно залежить від напрямку прикладеного поля. А це, звісно, ускладнення. Щоб полегшити собі життя, фізики починають розмову зі спеціального випадку, коли поляризовність в усіх напрямках однакова. А інші випадки ми лишаємо іншим наукам. Тому для наших подальших розглядів нам зовсім не знадобиться те, про що ми збираємося говорити в цьому розділі.
Математика тензорів особливо корисна для опису властивостей речовин, які змінюються з напрямком, хоча це лише один із прикладів її використання. Оскільки більшість із вас не збираються стати фізиками, а мають намір займатися реальним світом, де залежність від напрямку досить сильна, то рано чи пізно вам знадобиться використовувати тензор. Отож, щоб у вас тут не було прогалини, я і збираюся розповісти вам про тензори, хоча й не дуже докладно. Я хочу, щоб ваше розуміння фізики було якомога повнішим. Електродинаміка, наприклад, у нас цілком завершений курс; вона така ж повна, як і будь-який курс електрики й магнетизму, навіть інститутський. А от механіка в нас не завершена, бо, коли ми її вивчали, ви ще не були настільки тверді в математиці, і ми не могли обговорювати такі розділи, як принцип найменшої дії, лагранжіани, гамільтоніани тощо, які становлять найбільш елегантний спосіб опису механіки. Однак повний звід законів механіки, за винятком теорії відносності, у нас усе ж таки є. Тією ж мірою, що й електрика та магнетизм, у нас завершено багато розділів. А от квантову механіку ми так і не завершимо; втім, треба щось лишити й на майбутнє! І все ж, що таке тензор, вам усе-таки слід знати вже зараз.
У розд. 30 ми підкреслювали, що властивості кристалічної речовини в різних напрямках різні — ми кажемо, що вона анізотропна. Зміна індукованого дипольного моменту зі зміною напрямку прикладеного електричного поля — це лише один приклад, але саме його ми й візьмемо як приклад тензора. Вважатимемо, що для заданого напрямку електричного поля індукований дипольний момент одиниці об'єму Р пропорційний напруженості прикладеного поля Е. (Для багатьох речовин при не надто великих Е це дуже добре наближення.) Нехай стала пропорційності буде α. Тепер ми хочемо розглянути речовини, у яких α залежить від напрямку прикладеного поля, наприклад відомий вам кристал турмаліну, що дає подвоєне зображення, коли дивишся крізь нього.
Припустимо, ми виявили, що для якогось вибраного кристала електричне поле Е1, спрямоване вздовж осі x, дає поляризацію Р1, спрямовану вздовж тієї ж осі, а однакове з ним за величиною електричне поле Е2, спрямоване вздовж осі y, призводить до якоїсь іншої поляризації Р2, теж спрямованої вздовж осі y. А що вийде, якщо електричне поле прикласти під кутом 45°? Ну, оскільки воно буде просто суперпозицією двох полів, спрямованих вздовж осей x і y, то поляризація Р дорівнює сумі векторів Р1 і Р2, як це показано на фіг. 31.1, а. Поляризація вже не паралельна напрямку електричного поля. Неважко зрозуміти, чому так відбувається. У кристалі є заряди, які легко зсунути вгору й вниз, але які дуже туго зсуваються убік. Якщо ж сила прикладена під кутом 45°, то ці заряди охочіше рухаються вгору, ніж убік. Через таку асиметрію внутрішніх пружних сил переміщення відбувається не за напрямком зовнішньої сили. Звісно, кут 45° нічим не виділений. Те, що індукована поляризація не спрямована за електричним полем, справедливо й у загальному випадку. Перед цим нам просто «пощастило» вибрати такі осі x і y, для яких поляризація Р була спрямована за полем Е. Якби кристал був повернений відносно осей координат, то електричне поле Е2, спрямоване вздовж осі y, викликало б поляризацію як за віссю y, так і за віссю x. Подібним чином поляризація Р, викликана полем, спрямованим уздовж осі x, теж мала б і x-, і y-компоненти. Тож замість фіг. 31.1, а ми отримали б щось схоже на фіг. 31.1, б. Але попри все це ускладнення, величина поляризації Р для будь-якого поля Е, як і раніше, пропорційна його величині.Розглянемо тепер загальний випадок довільної орієнтації кристала відносно осей координат. Електричне поле, спрямоване вздовж осі x, дає поляризацію Р з компонентами за всіма трьома осями, тому ми можемо написати
Зображення
Цим я хочу сказати лише, що електричне поле, спрямоване вздовж осі x, створює поляризацію не тільки в цьому напрямку, воно призводить до трьох компонент поляризації Рx, Рy і Pz, кожна з яких пропорційна Еx. Коефіцієнти пропорційності ми назвали ахх, аyx і аzх (перший значок говорить, про яку компоненту йдеться, а другий стосується напрямку електричного поля).
Аналогічно, для поля, спрямованого вздовж осі y, ми можемо написати
Аналогічно, для поля, спрямованого вздовж осі y, ми можемо написати
Зображення
а для поля в z-напрямку
Зображення
Далі ми кажемо, що поляризація лінійно залежить від поля; тому якщо в нас є електричне поле Е з компонентами x і y, то х-компонента поляризації Р буде сумою двох Рx, визначених рівняннями (31.1) і (31.2), а якщо Е має складові за всіма трьома напрямками x, у і z, то складові поляризації Р мають бути сумою відповідних доданків у рівняннях (31.1), (31.2) і (31.3). Іншими словами, Р записується у вигляді
Зображення
Діелектричні властивості кристала, таким чином, повністю описуються дев'ятьма величинами (αxx, αxy,αxz, αyz ,...), які можна записати у вигляді символу αij. (Індекси i і j заміняють одну з трьох літер: x, у або z.) Довільне електричне поле Е можна розкласти на складові Еx, Еy і Ez. Знаючи їх, можна скористатися коефіцієнтами αij і знайти Рx, Рy і Рz, які в сукупності дають повну поляризацію Р. Набір дев'яти коефіцієнтів αij називається тензором — у цьому прикладі тензором поляризовності. Точно так само як три величини (Еx, Еy, Ez) «утворюють вектор Е», ми кажемо, що дев'ять величин (αхх, αху, ...) «утворюють тензор αij».