Усі тензори, з якими ми стикалися в цьому розділі, були пов'язані з тривимірним простором; вони визначалися як величини, що мають відомі трансформаційні властивості при просторових поворотах. А от у розд. 26 (вип. 6) ми мали змогу скористатися тензором у чотиривимірному просторі-часі: це був тензор електромагнітного поля Fμv . Компоненти такого чотиривимірного тензора особливим чином перетворюються при перетвореннях Лоренца. (Ми цього, щоправда, не робили, але могли б розглядати перетворення Лоренца як своєрідне «обертання» в чотиривимірному «просторі», який називається простором Мінковського; тоді аналогія з тим, що ми розглядали тут, була б яскравішою.)
Як останній приклад ми хочемо розглянути інший тензор у чотирьох вимірах (t, x,у, z) теорії відносності. Коли ми говорили про тензор напружень, то визначали Sij як компоненту сили, що діє на одиничну площадку. Але сила дорівнює швидкості зміни імпульсу з часом. Тому замість того, щоб казати «Sxy — це x-компонента сили, що діє на одиничну площадку, перпендикулярну до осі у», ми з рівним правом могли б сказати: Sxy — це швидкість потоку x-компоненти імпульсу через одиничну площадку, перпендикулярну до осі у». Іншими словами, кожен член Sij являє собою потік i-ї компоненти імпульсу через одиничну площадку, перпендикулярну до осі j. Так стоїть справа з суто просторовими компонентами, але вони становлять тільки частину «більшого» тензора Sμv в чотиривимірному просторі (μ і v=t, x, у, z), що містить ще додаткові компоненти Stx , Syt , Stt і т. п. Спробуємо тепер з'ясувати фізичний зміст цих додаткових компонент.
Нам відомо, що просторові компоненти являють собою потік імпульсу. Щоб знайти ключ до поширення цього поняття на «часовий напрямок», звернімося до «потоку» іншого роду — потоку електричного заряду. Швидкість потоку скалярної величини, подібної до заряду (через одиничну площу, перпендикулярну до потоку), є просторовим вектором — вектором густини струму j. Ми бачили, що часова компонента вектора потоку — це густина того, що тече. Наприклад, j можна скомбінувати з густиною заряду jt=ρ і отримати чотиривектор jμ= (ρ, j), тобто значок μ у вектора jμ набуває чотирьох значень: t, x, у, z. Це означає «густину», «швидкість потоку в x-напрямку», «швидкість потоку в y-напрямку» і «швидкість потоку в z-напрямку» скалярного заряду.
Тепер за аналогією з нашим твердженням про часову компоненту потоку скалярної величини можна очікувати, що разом із Sxx,Sxy і Sxz, що описують потік х-компоненти імпульсу, має бути і часова компонента Sxt, яка за задумом мала б описувати густину того, що тече, тобто Sxt має бути густиною x-компоненти імпульсу. Таким чином, ми можемо розширити наш тензор по горизонталі, включивши в нього t-компоненти, і в нашому розпорядженні виявляються:
Як останній приклад ми хочемо розглянути інший тензор у чотирьох вимірах (t, x,у, z) теорії відносності. Коли ми говорили про тензор напружень, то визначали Sij як компоненту сили, що діє на одиничну площадку. Але сила дорівнює швидкості зміни імпульсу з часом. Тому замість того, щоб казати «Sxy — це x-компонента сили, що діє на одиничну площадку, перпендикулярну до осі у», ми з рівним правом могли б сказати: Sxy — це швидкість потоку x-компоненти імпульсу через одиничну площадку, перпендикулярну до осі у». Іншими словами, кожен член Sij являє собою потік i-ї компоненти імпульсу через одиничну площадку, перпендикулярну до осі j. Так стоїть справа з суто просторовими компонентами, але вони становлять тільки частину «більшого» тензора Sμv в чотиривимірному просторі (μ і v=t, x, у, z), що містить ще додаткові компоненти Stx , Syt , Stt і т. п. Спробуємо тепер з'ясувати фізичний зміст цих додаткових компонент.
Нам відомо, що просторові компоненти являють собою потік імпульсу. Щоб знайти ключ до поширення цього поняття на «часовий напрямок», звернімося до «потоку» іншого роду — потоку електричного заряду. Швидкість потоку скалярної величини, подібної до заряду (через одиничну площу, перпендикулярну до потоку), є просторовим вектором — вектором густини струму j. Ми бачили, що часова компонента вектора потоку — це густина того, що тече. Наприклад, j можна скомбінувати з густиною заряду jt=ρ і отримати чотиривектор jμ= (ρ, j), тобто значок μ у вектора jμ набуває чотирьох значень: t, x, у, z. Це означає «густину», «швидкість потоку в x-напрямку», «швидкість потоку в y-напрямку» і «швидкість потоку в z-напрямку» скалярного заряду.
Тепер за аналогією з нашим твердженням про часову компоненту потоку скалярної величини можна очікувати, що разом із Sxx,Sxy і Sxz, що описують потік х-компоненти імпульсу, має бути і часова компонента Sxt, яка за задумом мала б описувати густину того, що тече, тобто Sxt має бути густиною x-компоненти імпульсу. Таким чином, ми можемо розширити наш тензор по горизонталі, включивши в нього t-компоненти, і в нашому розпорядженні виявляються:
Зображення
Аналогічна річ відбувається і з y-компонентою; у нас є три компоненти потоку: Syx , Syy і Syz , до яких потрібно додати четвертий член:
Зображення
У чотиривимірному просторі в імпульсу існує також і t-компонента, якою, як ми знаємо, є енергія. Тож тензор Sij слід продовжити по вертикалі, включивши в нього Stx, Sty і Stz, причому
Зображення
тобто Stx— це потік енергії за одиницю часу через поверхню одиничної площі, перпендикулярну до осі x, і т. д. Нарешті, щоб доповнити наш тензор, потрібна ще величина Stt, яка має бути густиною енергії. Отже, ми розширили наш тривимірний тензор напружень до чотиривимірного тензора енергії-імпульсу Sμv. Індекс μ може набувати чотирьох значень: t, x, у і z, які означають «густину», «потік через одиничну площу в напрямку осі x», «потік через одиничну площу в напрямку осі у» і «потік через одиничну площу в напрямку осі z». Значок v теж набуває чотирьох значень: t, x, у, z, які кажуть нам, що ж саме тече: «енергія», «x-компонента імпульсу», «y-компонента імпульсу» або ж «z-компонента імпульсу».
Як приклад розглянемо цей тензор не в речовині, а в порожньому просторі з електромагнітним полем. Ви знаєте, що потік енергії електромагнітного поля описується вектором Пойнтінга S=ε0c2E xB. Тож x-, у- і z-компоненти вектора S з релятивістської точки зору є компонентами Stx, Sty і Stz нашого тензора енергії-імпульсу. Симетрія тензора Sij переноситься і на часові компоненти, тож чотиривимірний тензор Sμv теж симетричний:
Як приклад розглянемо цей тензор не в речовині, а в порожньому просторі з електромагнітним полем. Ви знаєте, що потік енергії електромагнітного поля описується вектором Пойнтінга S=ε0c2E xB. Тож x-, у- і z-компоненти вектора S з релятивістської точки зору є компонентами Stx, Sty і Stz нашого тензора енергії-імпульсу. Симетрія тензора Sij переноситься і на часові компоненти, тож чотиривимірний тензор Sμv теж симетричний:
Зображення
Іншими словами, компоненти Sxt , Syt , S zt , які являють собою густини x-, у- і z-компонент імпульсу, дорівнюють також x-, у- і z-компонентам вектора Пойнтінга S, або, як ми бачили раніше з інших міркувань, вектора потоку енергії.
Решта компонент тензора електромагнітного напруження Sμv теж можна виразити через електричне й магнітне поля Е і В. Іншими словами, для електромагнітного поля в порожньому просторі ми повинні допустити існування тензора напружень, або, висловлюючись менш таємниче, потоку імпульсу електромагнітного поля. Ми вже обговорювали це в розд. 27 (вип. 6) у зв'язку з рівнянням (27.21), але тоді ми не заглиблювалися в деталі.
Тим із вас, хто хоче випробувати свою відвагу на чотиривимірних тензорах, може сподобатися вираз для тензора Sμv через поля:
Решта компонент тензора електромагнітного напруження Sμv теж можна виразити через електричне й магнітне поля Е і В. Іншими словами, для електромагнітного поля в порожньому просторі ми повинні допустити існування тензора напружень, або, висловлюючись менш таємниче, потоку імпульсу електромагнітного поля. Ми вже обговорювали це в розд. 27 (вип. 6) у зв'язку з рівнянням (27.21), але тоді ми не заглиблювалися в деталі.
Тим із вас, хто хоче випробувати свою відвагу на чотиривимірних тензорах, може сподобатися вираз для тензора Sμv через поля:
Зображення
де підсумовування за α і β проводиться за всіма їхніми значеннями (тобто t, x, у і z), але, як завжди в теорії відносності, для суми ∑ і символу δ прийнято спеціальну угоду. У сумах доданки зі значками x, у, z слід віднімати, а δtt=+1, тоді як δxx = δуу=δzz= –1 і δμv=0 для всіх μ≠v (с=1). Чи зможете ви довести, що ця формула приводить до густини енергії Stt=(ε0/2)(E2+B2) і вектора Пойнтінга ε0Е хВ? Чи можете ви показати, що в електростатичному полі, коли В = 0, головна вісь напруження спрямована за електричним полем і вздовж напрямку поля виникає натяг (ε0 /2)Е2 і рівний йому тиск у напрямку, перпендикулярному до напрямку поля?