Лекція №3. Основи гідродинаміки та гемодинаміки

Гідродинаміка - розділ фізики, в якому на основі законів механіки вивчають рух рідин.
Гемодинаміка вивчає рух крові в кровоносній системі. Розглянемо деякі принципи гідродинаміки.

Для опису течії рідини необхідно розглянути рух невеликого її об'єму. Лінії, вздовж яких переміщуються частинки рідини, називаються лініями течії. Якщо кожна наступна частинка рідини проходить через дану точку, рухаючись тим самим шляхом, що й попередня частинка рідини, течія рідини називається стаціонарною. Лінії течії за стаціонарної течії рідини відображають напрямок течії, який може бути прямим або вигнутим. Дотична, проведена в будь-якій точці до ліній течії, вказує напрямок вектора швидкості в цій точці.

Розглянемо рух нестисливої рідини крізь трубку змінного перерізу. Якщо певний об'єм рідини надходить в один кінець трубки, то рівний йому об'єм має вийти через інший кінець трубки.
 
Основним показником течії рідини в трубці є Q – об'ємна швидкість течії рідини - об'єм рідини (V), що переміщується за одиницю часу через поперечний переріз трубки. Якщо об'ємна швидкість рідини, яка надходить через один кінець трубки, становить Q₁, то об'ємна швидкість рідини, що витікає з іншого кінця трубки, буде Q₂, і вона дорівнюватиме Q₁. Цей принцип називається рівнянням нерозривності. Отже, рівняння нерозривності можна записати так: Q₁ = Q₂ (1).
 
Об'ємна швидкість рідини дорівнює добутку лінійної швидкості рідини  ν(м/с) на площу поперечного перерізу трубки S:  Q = v*S (2)
 
Для трубки зі змінним поперечним перерізом (S₁, S₂ тощо) маємо іншу форму рівняння нерозривності:    v₁S₁ = v₂S₂ = ... = v_nS_n (3).
 
Отже, добуток лінійної швидкості руху рідини на площу поперечного перерізу однаковий в усіх перерізах. Звідси, якщо S зменшується, то  v при цьому збільшується, і навпаки.
 
Зазвичай лінійна швидкість течії не однакова в кожній точці поперечного перерізу. Рівняння нерозривності відображає середню швидкість течії.

В'язкість - властивість рідин, зумовлена рухом частинок рідини відносно одна одної, що зумовлює виникнення опору течії рідини в цілому. В'язкість виникає через внутрішнє тертя між молекулами рідини. Таке тертя зумовлює виникнення відмінності швидкостей руху частинок у потоці рідини.
 
Величиною, оберненою до в'язкості, є плинність. Різні рідини відрізняються за в'язкістю. Наприклад, в'язкість нафти більша, ніж в'язкість води.
 
В'язкість є основним показником у визначенні сил, які долають рідини під час переміщення в трубках і судинах. В'язкість крові суттєво впливає на потік крові в серцево-судинній системі.
Рис. 1. Профіль векторів швидкостей за ламінарної течії рідини між двома листами металу
Поняття в'язкості запропонував Ньютон. Уявімо простий дослід, показаний на Рис. 1. Між двома плоскими металевими пластинами помістили тонкий шар рідини. Нижня пластина встановлена нерухомо, а верхня пластина під дією певної сили переміщується з постійною швидкістю. Ця сила потрібна для подолання в'язких властивостей рідини. Вона має мати великі значення для більш в'язкої рідини, ніж для менш в'язкої рідини.
 
Якщо верхня пластина переміщується, рідина набуває так званого ламінарного руху. Кожен шар рідини рухається з певною швидкістю ν. Кожен шар чинить силову дію на нижні пластини й зазнає дії рівної сили у зворотному напрямку. У результаті швидкості різних шарів рідини виявляються не однаковими. Профіль векторів швидкостей різних шарів рідини показано на Рис. 1. Так формується градієнт швидкості dν/dx.
 
Ньютон довів, що сила внутрішнього тертя F пропорційна площі шарів рідини S, які дотикаються, і градієнту швидкості dν/dx:

Константа прямої пропорційності (η- ″ета″) називається абсолютною в'язкістю рідини (або динамічною в'язкістю). Вона дорівнює силі внутрішнього тертя, що виникає між двома шарами із загальною площею, яка дорівнює одиниці, за градієнта швидкості між ними, що дорівнює 1. Одиницею вимірювання в'язкості є  [Н·с/м2]або [Па·с]. Величина в'язкості залежить від природи рідини та її температури. В'язкість рідин зменшується зі збільшенням температури і навпаки.
 
У деяких випадках зручніше застосовувати відносну в'язкість, а не абсолютну. Відносна в'язкість рідини  - це абсолютна в'язкість цієї рідини, поділена на в'язкість води.

Рідини, в'язкість яких може бути описана рівнянням Ньютона, називаються ньютонівськими. Це гомогенні рідини (вода, парфуми, розчини електролітів тощо.) Існують також складніші неоднорідні рідини, для опису яких рівняння Ньютона неадекватне. В'язкість таких рідин, які називаються неньютонівськими рідинами, залежить від швидкості течії (за її високих значень). Ця категорія рідин включає суспензії, емульсії та розчини макромолекул (наприклад, білків). Довгі ланцюжки макромолекул у розчинах можуть заплутуватися одні з одними, і це переплетення перешкоджає їхній здатності реагувати на зміни швидкості течії розчинника. Величина в'язкості неньютонівських рідин більша, ніж у ньютонівських рідин.

Течія рідини, показана на Рис. 1, називається ламінарною. Шар рідини, що контактує з рухомою металевою пластиною, має ту саму швидкість, що й ця пластина. Шар рідини, розташований нижче, переміщується трохи повільніше, і швидкість кожного наступного шару трохи менша, ніж попереднього. При цьому кожен шар рідини ковзає по іншому, і різні шари не перемішуються.
 
У ламінарному потоці кожна частинка рідини рухається шляхом своєї попередньої частинки. Швидкість течії в будь-якій точці рідини залишається постійною. Лінії течії не перетинаються між собою. Енергія, яку повідомляють рідині для підтримання її течії, витрачається головним чином на подолання в'язких сил між шарами рідини.
 
Інший тип течії називається турбулентним. Турбулентна течія нестійка. Пошаровий характер течії рідини порушується. У потоці утворюються місцеві завихрення, частинки переміщуються не лише паралельно, а й перпендикулярно до осі трубки, безперервно перемішуючись. Лінії течії стають викривленими. Швидкість частинок, які перетинають конкретну точку рідини, не є сталою за напрямком і величиною: вона змінюється з часом. Опис турбулентного потоку має бути статистичним: з погляду середніх величин. Для турбулентної течії потрібна більша енергія, ніж для ламінарної, оскільки за турбулентної течії суттєво зростає внутрішнє тертя між частинками рідини.
 
Англійський фізик Рейнольдс дослідив умови, за яких течія є ламінарною або турбулентною. Перехід від ламінарної течії до турбулентної залежить від значення безрозмірної величини, яка називається числом Рейнольдса. Число Рейнольдса для рідини, що тече в циліндричній трубці, визначається рівнянням:  Re = vDρ/η         (5),
 
де v - середня швидкість потоку, D - діаметр трубки, η - в'язкість, і ρ - густина рідини.
Критична величина числа Рейнольдса для циліндричних трубок, за якої ламінарна течія стає турбулентною, - 2000 - 2400.
 
Критична швидкість - швидкість рідини, за перевищення якої ламінарна течія переходить у турбулентну. Течія крові в судинах є ламінарною (за винятком аорти). В аорті спостерігається турбулентна течія крові під час фізичної роботи, яка призводить до суттєвого збільшення швидкості течії крові. Потік крові також може стати турбулентним в артеріях за зменшення площі їхнього поперечного перерізу внаслідок патологічних процесів. Причиною цього феномену є підвищення швидкості течії крові.

Закон Пуазейля являє собою формулу для об'ємної швидкості течії рідини. Його відкрив експериментально французький фізіолог Пуазейль, який досліджував течію крові в кровоносних судинах. Закон Пуазейля часто називають головним законом гідродинаміки.
 
Закон Пуазейля пов'язує об'ємну швидкість течії рідини з різницею тиску на початку і в кінці трубки як рушійною силою потоку, в'язкістю рідини, радіусом і довжиною трубки. Закон Пуазейля використовують у разі, якщо течія рідини ламінарна. Формула закону Пуазейля:

де Q - об'ємна швидкість рідини (м³/с), (P₁ - P₂) - різниця тиску на кінцях трубки (Па), r - внутрішній радіус трубки (м), l - довжина трубки (м), η - в'язкість рідини (Па с).
 
Закон Пуазейля показує, що величина Q пропорційна різниці тиску P₁ - P₂ на початку і в кінці трубки. Якщо P₁ дорівнює P₂, потік рідини припиняється. Формула закону Пуазейля також показує, що висока в'язкість рідини призводить до зниження об'ємної швидкості течії рідини. Вона також показує, що об'ємна швидкість рідини надзвичайно залежить від радіуса трубки. Це означає, що помірні зміни радіуса кровоносних судин можуть забезпечувати великі відмінності об'ємної швидкості рідини, яка протікає крізь судину.
 
Формула закону Пуазейля спрощується і стає універсальнішою після введення допоміжної величини - гідродинамічного опору R, який для циліндричної трубки може бути визначений за формулою:

Закон Пуазейля, отже, показує, що об'ємна швидкість рідини прямо пропорційна різниці тиску на початку і в кінці трубки та обернено пропорційна гідродинамічному опору:

Кров є суспензією клітин крові в рідині складного складу, яка називається плазмою. Розрізняють червоні клітини крові (еритроцити), білі клітини крові (лейкоцити) і тромбоцити. Плазма - водний розчин електролітів, білків, поживних речовин, продуктів метаболізму тощо. Об'єм крові в організмі становить майже 7% об'єму людського тіла. Еритроцити займають близько 45 % об'єму крові, а інші клітини крові - менш ніж 1%. Відносний об'єм клітин крові та плазми визначають за допомогою приладу гематокрита. Цю саму назву вживають для позначення результатів аналізу.
 
Кров є густішою та в'язкішою, ніж вода. У середньому відносна в'язкість крові становить майже 4,5 (3,5-5,4). Відносна в'язкість плазми - 2,2 (1,9 - 2,6). В'язкість крові вимірюється в лабораторії за допомогою спеціального приладу - медичного віскозиметра. Кров є неньютонівською рідиною. Але за такої швидкості течії, яка підтримується в судинах кровоносної системи, в'язкі властивості крові можна розглядати так, як для ньютонівських рідин.
 
В'язкість крові залежить головним чином від концентрації еритроцитів і меншою мірою - від концентрації білків плазми. Вона залежить також від швидкості течії крові. Якщо швидкість течії крові зменшується, еритроцити збираються в специфічні скупчення, так звані ″монетні стовпчики. Це призводить до підвищення в'язкості крові. Такий феномен може спостерігатися в дрібних кровоносних судинах, де швидкість течії крові невелика.
 
Проте існує фізіологічний механізм, який сприяє зменшенню в'язкості крові в невеликих судинах, званий ефектом Фареуса-Ліндквіста. Цей ефект пояснюється орієнтацією еритроцитів уздовж осі судини. Еритроцити, формуючи циліндричний осьовий потік, ковзають по шару навколишньої їх плазми крові.

Серцево-судинна система складається із серця та розгалуженої замкнутої системи кровоносних судин, які переміщують кров в усі частини тіла і в серце. Судинна система складається із системного кровообігу та легеневого кровообігу. Кровоносні судини включають артерії, капіляри та вени. По артеріях кров надходить в органи й тканини. Через вени переміщується зворотний потік крові. Кожна велика артерія, що починається від аорти, розгалужується, утворюючи менші артерії, які, в свою чергу, розгалужуються далі. Найменші артерії називаються артеріолами. Кров, врешті-решт, досягає капілярів, де відбувається обмін речовин з навколишніми тканинами. Потім капіляри збираються у венули та вени, які збираються в порожнисті вени, звідки кров із тканин надходить у серце.

У клініці найчастіше досліджують тиск і швидкість течії крові.
 
Тиск крові в артеріях коливається від максимального під час скорочення серця (систоли) до мінімального під час розслаблення (діастоли). При кожному серцебитті тиск крові підіймається до систолічного рівня, а між ударами падає до діастолічного рівня. Тому артеріальний тиск визначають як максимальне/мінімальне значення (систолічне/діастолічне). Зазвичай його вимірюють у міліметрах ртутного стовпа. Середнє значення артеріального тиску для здорових дорослих людей у стані спокою становить 120/60 мм рт. ст.
 
Сфігмоманометр – найчастіше використовуваний прилад для вимірювання тиску крові. Сфігмоманометр складається з надувної манжети, в яку за допомогою гумової груші нагнітають повітря, збільшуючи в ній тиск. Ця система з'єднана з манометром, за шкалою якого визначають артеріальний тиск пацієнта. Манжету фіксують на плечі, фонендоскоп установлюють у ліктьовому згині.
 
Тиск у манжеті збільшують доти, доки в артерії не припиниться потік крові. Потім тиск у манжеті повільно зменшують. Коли він досягне максимального (систолічного) значення, артерія частково відкривається. Оскільки переріз артерії в цей момент менший, ніж зазвичай, у ній створюється висока швидкість течії крові, і ця течія є турбулентною. Тому фонендоскопом можна почути звуки - тони Короткова.
 
Якщо продовжувати зменшувати тиск у манжеті, артерія протягом деякого періоду залишається ще достатньо стиснутою порівняно з нормальним станом. Отже, тони Короткова чути доти, доки тиск у манжеті не досягне мінімального (діастолічного) значення. У цей момент кров починає вільно проходити крізь артерію. В артерії відновлюється ламінарна течія крові, і тони Короткова зникають. Таким чином, вимірюють максимальний і мінімальний тиск крові.
 
Швидкість течії крові вимірюють, використовуючи ефект еходоплерографії. Як тиск крові, так і швидкість її течії є важливими діагностичними показниками.

Найвищий тиск у кровоносній системі — у серці. За законом Пуазейля: P₁ - P₂ = QR. Припустімо, що P₁ – тиск крові в аорті й P₂ - тиск крові в порожнистій вені, який становить близько нуля мм рт. ст. Отже, тиск крові в аорті визначається двома змінними.
 
(1) Перша з них - об'ємна швидкість рідини (Q) в аорті, величина якої залежить від частоти, потужності серцевих скорочень та об'єму в кровоносній системі.
(2) Друга – загальний опір (R) кровоносної системи.
 
Тиск крові зменшується з відстанню від серця через тертя в кровоносних судинах. Тиск крові є мірою енергії, яку повідомляє крові серце. Ця енергія розсіюється під час подолання опору кровоносних судин.
 
Гідродинамічний опір різних частин кровоносної системи не однаковий. Опір аорти і великих артерій становить лише близько 19% загальної величини опору в системі. Найбільша частка опору припадає на артеріоли (50%) і капіляри (25%)). Таким чином, на судини, довжина яких становить не більше кількох міліметрів, припадає більш ніж половина загального опору циркуляторного русла. Опір вен становить близько 7% загальної величини опору в кровоносній системі.
 
Величина гідродинамічного опору визначає падіння тиску крові по ходу судинного русла (Рис. 2). Середній тиск крові трохи знижується в артеріях (відносно тиску в аорті), але різке його падіння спостерігається в артеріолах і капілярах. Опір артеріол є одним з основних чинників, що визначають величину артеріального тиску. Зміни тиску крові у венах дуже невеликі.
Рис. 2. Середній тиск крові в різних відділах кровоносної системи. 1. Аорта. 2. Артерії. 3. Артеріоли. 4.Капіляри. 5. Вени.
Середні величини тиску крові (мм рт. ст.): 100 - у невеликих артеріях, 95  - при переході з артерій в артеріоли, 35-70  - при надходженні крові з артеріол у капіляри, 20-35 – у великих венах, 10 і менше – у дрібних венах.
 
Швидкість течії крові також значно різниться в різних відділах кровоносної системи (Рис. 3). Середня величина швидкості течії крові визначається рівнянням нерозривності: вона обернено пропорційна загальній площі поперечного перерізу паралельно з'єднаних судин. Наприклад, площа поперечного перерізу аорти становить близько 3,5-4,5, тоді як сумарна площа поперечного перерізу капілярів - у 600 разів більша. Тому середня швидкість крові становить 0,2  в аорті й лише 0,0003 в капілярах. Невелика швидкість течії крові в капілярах має велике значення для обміну речовин між кров'ю та навколишніми тканинами.
Рис.3. Середня швидкість течії крові в різних відділах кровоносної системи.
1. Аорта. 2. Артерії. 3. Артеріоли. 4. Капіляри. 5. Вени.