Коливання – це рух тіла, під час якого воно багаторазово рухається однією й тією самою траєкторією і проходить при цьому одні й ті самі точки простору. Прикладами тіл, що коливаються, можуть бути - маятник годинника, струна скрипки або фортепіано, вібрації автомобіля.
Коливання відіграють важливу роль у багатьох фізичних явищах поза межами механіки. Наприклад, напруга і сила струму в електричних колах можуть коливатися. Біологічними прикладами коливань можуть бути серцеві скорочення, артеріальний пульс і утворення звуку голосовими зв'язками.
Хоча фізична природа систем, що коливаються, може істотно відрізнятися, різноманітні типи коливань можна схарактеризувати кількісно схожим чином. Фізична величина, яка змінюється з часом під час коливального руху, називається зміщенням. Амплітуда – це максимальне зміщення тіла, що коливається, від положення рівноваги. Повне коливання, або цикл – це рух, під час якого тіло, виведене з положення рівноваги на деяку амплітуду, повертається в це положення, відхиляється до максимального зміщення в протилежний бік і повертається у своє первісне положення. Період коливання T – час, потрібний для здійснення одного повного циклу. Кількість коливань за одиницю часу - це частота коливань.
Коливання відіграють важливу роль у багатьох фізичних явищах поза межами механіки. Наприклад, напруга і сила струму в електричних колах можуть коливатися. Біологічними прикладами коливань можуть бути серцеві скорочення, артеріальний пульс і утворення звуку голосовими зв'язками.
Хоча фізична природа систем, що коливаються, може істотно відрізнятися, різноманітні типи коливань можна схарактеризувати кількісно схожим чином. Фізична величина, яка змінюється з часом під час коливального руху, називається зміщенням. Амплітуда – це максимальне зміщення тіла, що коливається, від положення рівноваги. Повне коливання, або цикл – це рух, під час якого тіло, виведене з положення рівноваги на деяку амплітуду, повертається в це положення, відхиляється до максимального зміщення в протилежний бік і повертається у своє первісне положення. Період коливання T – час, потрібний для здійснення одного повного циклу. Кількість коливань за одиницю часу - це частота коливань.
Просте гармонічне коливання
У деяких тілах при їх розтягу або стисненні виникають сили, що протидіють цим процесам. Ці сили прямо пропорційні довжині розтягу або стиснення. Такою властивістю мають пружини. Коли тіло, підвішене до пружини, відхиляють від положення рівноваги, а потім відпускають, його рух являє собою просте гармонічне коливання.
Розглянемо тіло масою m, підвішене на пружині в положенні рівноваги. Зміщуючи тіло вниз, можна викликати коливання тіла. Якщо - зміщення тіла від положення рівноваги, то в пружині виникає сила F (сила пружності), спрямована в протилежний зміщенню бік. Відповідно до закону Гука, сила пружності пропорційна зміщенню Fпруж = -k·S , де k - стала, яка залежить від пружних властивостей пружини. Сила є від'ємною, оскільки вона прагне повернути тіло в положення рівноваги.
Діючи на тіло масою m, сила пружності надає йому прискорення вздовж напрямку зміщення. Згідно із законом Ньютона F = ma, де a = d2S/d2t. Для спрощення подальших міркувань знехтуємо тертям і в'язкістю в системі, що коливається. У такому разі амплітуда коливань не змінюватиметься з часом.
Якщо на тіло, що коливається, не діють жодні зовнішні сили (навіть опір середовища), то коливання здійснюються з певною частотою. Ці коливання називаються вільними. Амплітуда таких коливань залишається сталою.
Таким чином, m·d2S/d2t = -k·S (1) . Переносячи всі члени рівності в один бік і ділячи їх на m, отримаємо рівняння d2S/d2t +(k/m)·S = 0,
а потім d2S/d2t +ω02·S = 0 (2), де k/m = ω02
Рівняння (2) є диференціальним рівнянням простого гармонічного коливання.
Розв'язок рівняння (2) дає дві функції:
S = A sin(ω0t + φ0) (3) і S = A cos(ω0t + φ0) (4)
Таким чином, якщо тіло масою m здійснює прості гармонічні коливання, зміна зміщення цього тіла від точки рівноваги з часом відбувається за законом синуса або косинуса.
(ω0t + φ0) - фаза коливання з початковою фазою φ0. Фаза є властивістю коливального руху, яка характеризує величину зміщення тіла в будь-який момент часу. Фаза вимірюється в радіанах.
Величина називається кутовою, або круговою, частотою. Вимірюється в радіанах, поділених на секунду ω0 = 2πν або ω0 = 2π/T (5)
Графік рівняння простого гармонічного коливання показано на Рис. 1. Тіло, спочатку зміщене на відстань А – амплітуду коливання, а потім відпущене, продовжує коливатися від -A до A за час T - період коливання.
Рис 1.
Таким чином, під час простого гармонічного коливання величина зміщення тіла змінюється з часом уздовж синусоїди або косинусоїди. Тому просте гармонічне коливання часто називають синусоїдальним коливанням.
Просте гармонічне коливання має такі основні характеристики:
a) тіло, що рухається, почергово перебуває по обидва боки від положення рівноваги;
б) тіло повторює свій рух за певний інтервал часу;
c) прискорення тіла завжди пропорційне зміщенню і спрямоване протилежно до нього;
д) графічно цей тип коливання описує синусоїда.
Розглянемо тіло масою m, підвішене на пружині в положенні рівноваги. Зміщуючи тіло вниз, можна викликати коливання тіла. Якщо - зміщення тіла від положення рівноваги, то в пружині виникає сила F (сила пружності), спрямована в протилежний зміщенню бік. Відповідно до закону Гука, сила пружності пропорційна зміщенню Fпруж = -k·S , де k - стала, яка залежить від пружних властивостей пружини. Сила є від'ємною, оскільки вона прагне повернути тіло в положення рівноваги.
Діючи на тіло масою m, сила пружності надає йому прискорення вздовж напрямку зміщення. Згідно із законом Ньютона F = ma, де a = d2S/d2t. Для спрощення подальших міркувань знехтуємо тертям і в'язкістю в системі, що коливається. У такому разі амплітуда коливань не змінюватиметься з часом.
Якщо на тіло, що коливається, не діють жодні зовнішні сили (навіть опір середовища), то коливання здійснюються з певною частотою. Ці коливання називаються вільними. Амплітуда таких коливань залишається сталою.
Таким чином, m·d2S/d2t = -k·S (1) . Переносячи всі члени рівності в один бік і ділячи їх на m, отримаємо рівняння d2S/d2t +(k/m)·S = 0,
а потім d2S/d2t +ω02·S = 0 (2), де k/m = ω02
Рівняння (2) є диференціальним рівнянням простого гармонічного коливання.
Розв'язок рівняння (2) дає дві функції:
S = A sin(ω0t + φ0) (3) і S = A cos(ω0t + φ0) (4)
Таким чином, якщо тіло масою m здійснює прості гармонічні коливання, зміна зміщення цього тіла від точки рівноваги з часом відбувається за законом синуса або косинуса.
(ω0t + φ0) - фаза коливання з початковою фазою φ0. Фаза є властивістю коливального руху, яка характеризує величину зміщення тіла в будь-який момент часу. Фаза вимірюється в радіанах.
Величина називається кутовою, або круговою, частотою. Вимірюється в радіанах, поділених на секунду ω0 = 2πν або ω0 = 2π/T (5)
Графік рівняння простого гармонічного коливання показано на Рис. 1. Тіло, спочатку зміщене на відстань А – амплітуду коливання, а потім відпущене, продовжує коливатися від -A до A за час T - період коливання.
Рис 1.
Таким чином, під час простого гармонічного коливання величина зміщення тіла змінюється з часом уздовж синусоїди або косинусоїди. Тому просте гармонічне коливання часто називають синусоїдальним коливанням.Просте гармонічне коливання має такі основні характеристики:
a) тіло, що рухається, почергово перебуває по обидва боки від положення рівноваги;
б) тіло повторює свій рух за певний інтервал часу;
c) прискорення тіла завжди пропорційне зміщенню і спрямоване протилежно до нього;
д) графічно цей тип коливання описує синусоїда.
Згасальне коливання
Просте гармонічне коливання не може тривати як завгодно довго за сталої амплітуди. У реальних умовах через деякий час гармонічні коливання припиняються. Такі гармонічні коливання в реальних системах називаються згасаючими коливаннями (рис.2). До зменшення амплітуди коливань з подальшим їх припиненням призводить дія зовнішніх сил, наприклад, тертя і в'язкості. Ці сили зменшують енергію коливань. Вони називаються дисипативними силами, оскільки сприяють розсіюванню потенціальної й кінетичної енергії макроскопічних тіл в енергію теплового руху атомів і молекул тіла.
Рис 2.
Величина дисипативних сил залежить від швидкості тіла. Якщо швидкість ν порівняно мала, то дисипативна сила F прямо пропорційна цій швидкості Fтр = -rν = -r·dS/dt (6)
Тут r - сталий коефіцієнт, незалежний від швидкості або частоти коливань. Знак мінус вказує на те, що гальмівна сила спрямована проти вектора швидкості руху.
Беручи до уваги дію дисипативних сил, диференціальне рівняння гармонічного згасаючого коливання має вигляд: m·d2S/d2t = -kS - r·dS/dt.
Перенісши всі члени рівності в один бік, поділивши кожен член на m і замінюючи k/m = ω2,r/m = 2β , отримаємо диференціальне рівняння вільних гармонічних згасаючих коливань
Рис 2.
Величина дисипативних сил залежить від швидкості тіла. Якщо швидкість ν порівняно мала, то дисипативна сила F прямо пропорційна цій швидкості Fтр = -rν = -r·dS/dt (6)Тут r - сталий коефіцієнт, незалежний від швидкості або частоти коливань. Знак мінус вказує на те, що гальмівна сила спрямована проти вектора швидкості руху.
Беручи до уваги дію дисипативних сил, диференціальне рівняння гармонічного згасаючого коливання має вигляд: m·d2S/d2t = -kS - r·dS/dt.
Перенісши всі члени рівності в один бік, поділивши кожен член на m і замінюючи k/m = ω2,r/m = 2β , отримаємо диференціальне рівняння вільних гармонічних згасаючих коливань
Зображення
де β - коефіцієнт згасання, що характеризує згасання коливань за одиницю часу.
Розв'язком рівняння є функція S = A0·e-βt ·sin(ωt + φ0) (8)
Рівняння (8) показує, що амплітуда гармонічного коливання зменшується експоненціально з часом. Частота згасаючих коливань визначається рівнянням ω = √(ω02 - β2) (9)
Якщо коливання не може відбуватися внаслідок великого , то система повертається у своє положення рівноваги за експоненціальним шляхом без коливання.
Розв'язком рівняння є функція S = A0·e-βt ·sin(ωt + φ0) (8)
Рівняння (8) показує, що амплітуда гармонічного коливання зменшується експоненціально з часом. Частота згасаючих коливань визначається рівнянням ω = √(ω02 - β2) (9)
Якщо коливання не може відбуватися внаслідок великого , то система повертається у своє положення рівноваги за експоненціальним шляхом без коливання.
Вимушене коливання і резонанс
Якщо не повідомляти системі, що коливається, зовнішню енергію, то амплітуда гармонічного коливання зменшується з часом через дисипативні ефекти. Періодична дія сили може збільшити амплітуду коливань. Тепер коливання не згасатиме з часом, оскільки втрачена енергія поповнюється протягом кожного циклу дією зовнішньої сили. Якщо буде досягнуто баланс цих двох енергій, то амплітуда коливань залишатиметься сталою. Ефект залежить від співвідношення частот вимушувальної сили ω і власної частоти коливання системи ω0.
Якщо тіло коливається під дією зовнішньої періодичної сили з частотою цієї зовнішньої сили, то коливання тіла називається вимушеним.
Енергія зовнішньої сили справляє найбільший вплив на коливання системи, якщо зовнішня сила має певну частоту. Ця частота має бути такою самою, як і частота власних коливань системи, які ця система здійснювала б за відсутності зовнішніх сил. У такому разі відбувається резонанс – явище різкого зростання амплітуди коливань при збігу частоти вимушувальної сили з частотою власних коливань системи.
Якщо тіло коливається під дією зовнішньої періодичної сили з частотою цієї зовнішньої сили, то коливання тіла називається вимушеним.
Енергія зовнішньої сили справляє найбільший вплив на коливання системи, якщо зовнішня сила має певну частоту. Ця частота має бути такою самою, як і частота власних коливань системи, які ця система здійснювала б за відсутності зовнішніх сил. У такому разі відбувається резонанс – явище різкого зростання амплітуди коливань при збігу частоти вимушувальної сили з частотою власних коливань системи.
Механічні хвилі
Поширення коливань з одного місця в інше називається хвильовим рухом, або просто хвилею.
Механічні хвилі утворюються внаслідок простих гармонічних коливань частинок середовища від їхнього середнього положення. Речовина середовища при цьому не переміщується з одного місця в інше. Але частинки середовища, які передають одна одній енергію, потрібні для поширення механічних хвиль.
Таким чином, механічна хвиля є збуренням матеріального середовища, яке проходить це середовище з певною швидкістю, не змінюючи своєї форми.
Якщо у воду кинути камінь, від місця збурення середовища побіжить поодинока хвиля. Проте хвилі іноді можуть бути періодичними. Наприклад, камертон, що вібрує, створює почергові стиснення і розрідження повітря навколо нього. Ці збурення, які сприймаються як звук, відбуваються періодично з частотою коливань камертона.
Існують механічні хвилі двох видів.
(1) Поперечна хвиля. Цей вид хвиль характеризується вібрацією частинок середовища під прямим кутом до напрямку поширення хвилі. Поперечні механічні хвилі можуть виникати тільки в твердих речовинах і на поверхні рідин.
У поперечній хвилі всі частинки середовища здійснюють просте гармонічне коливання біля своїх середніх положень. Положення максимального зміщення вгору називається "гребенем", а положення максимального зміщення вниз - "западиною". Відстань між двома послідовними гребенями або западинами називається довжиною поперечної хвилі λ.
(2) Поздовжня хвиля. Цей вид хвиль характеризується коливаннями частинок середовища вздовж напрямку поширення хвилі. Поздовжні хвилі можуть поширюватися в рідинах, газах і твердих тілах.
У поздовжній хвилі всі частинки середовища також здійснюють просте гармонічне коливання навколо свого середнього положення. У деяких місцях частинки середовища розташовані ближче, а в інших місцях - далі, ніж у нормальному стані.
Місця, де частинки розташовані близько, називаються областями стиснення, а місця, де вони перебувають далеко одна від одної - областями розрідження. Відстань між двома послідовними стисненнями або розрідженнями називається довжиною поздовжньої хвилі.
Виділяють такі характеристики хвиль.
(1) Амплітуда - максимальне зміщення частинки середовища, що коливається, від її положення рівноваги (A).
(2) Період – час, потрібний частинці для одного повного коливання (T).
(3) Частота - кількість коливань, здійснених частинкою середовища за одиницю часу (ν). Між частотою хвилі та її періодом існує обернена залежність: ν = 1/T .
(4) Фаза частинки, що коливається, у будь-який момент визначає її положення і напрямок руху в цей момент. Фаза являє собою частину довжини хвилі або періоду часу.
(5) Швидкість хвилі є швидкістю поширення в просторі гребеня хвилі (v).
Сукупність частинок середовища, які коливаються в однаковій фазі, формує фронт хвилі. З цього погляду хвилі поділяються на два види.
(1) Якщо джерело хвилі є точкою, з якої вона поширюється в усіх напрямках, то утворюється сферична хвиля.
(2) Якщо джерело хвилі – плоска поверхня, що коливається, то утворюється плоска хвиля.
Зміщення частинок плоскої хвилі можна описати загальним рівнянням для всіх типів хвильового руху: S = A·sin ω · (t - x/v) (10)
Це означає, що величина зміщення (S) для кожного значення часу (t) і відстані від джерела хвилі (x) залежить від амплітуди коливання (A), кутової частоти (ω) і швидкості хвилі (v).
Механічні хвилі утворюються внаслідок простих гармонічних коливань частинок середовища від їхнього середнього положення. Речовина середовища при цьому не переміщується з одного місця в інше. Але частинки середовища, які передають одна одній енергію, потрібні для поширення механічних хвиль.
Таким чином, механічна хвиля є збуренням матеріального середовища, яке проходить це середовище з певною швидкістю, не змінюючи своєї форми.
Якщо у воду кинути камінь, від місця збурення середовища побіжить поодинока хвиля. Проте хвилі іноді можуть бути періодичними. Наприклад, камертон, що вібрує, створює почергові стиснення і розрідження повітря навколо нього. Ці збурення, які сприймаються як звук, відбуваються періодично з частотою коливань камертона.
Існують механічні хвилі двох видів.
(1) Поперечна хвиля. Цей вид хвиль характеризується вібрацією частинок середовища під прямим кутом до напрямку поширення хвилі. Поперечні механічні хвилі можуть виникати тільки в твердих речовинах і на поверхні рідин.
У поперечній хвилі всі частинки середовища здійснюють просте гармонічне коливання біля своїх середніх положень. Положення максимального зміщення вгору називається "гребенем", а положення максимального зміщення вниз - "западиною". Відстань між двома послідовними гребенями або западинами називається довжиною поперечної хвилі λ.
(2) Поздовжня хвиля. Цей вид хвиль характеризується коливаннями частинок середовища вздовж напрямку поширення хвилі. Поздовжні хвилі можуть поширюватися в рідинах, газах і твердих тілах.
У поздовжній хвилі всі частинки середовища також здійснюють просте гармонічне коливання навколо свого середнього положення. У деяких місцях частинки середовища розташовані ближче, а в інших місцях - далі, ніж у нормальному стані.
Місця, де частинки розташовані близько, називаються областями стиснення, а місця, де вони перебувають далеко одна від одної - областями розрідження. Відстань між двома послідовними стисненнями або розрідженнями називається довжиною поздовжньої хвилі.
Виділяють такі характеристики хвиль.
(1) Амплітуда - максимальне зміщення частинки середовища, що коливається, від її положення рівноваги (A).
(2) Період – час, потрібний частинці для одного повного коливання (T).
(3) Частота - кількість коливань, здійснених частинкою середовища за одиницю часу (ν). Між частотою хвилі та її періодом існує обернена залежність: ν = 1/T .
(4) Фаза частинки, що коливається, у будь-який момент визначає її положення і напрямок руху в цей момент. Фаза являє собою частину довжини хвилі або періоду часу.
(5) Швидкість хвилі є швидкістю поширення в просторі гребеня хвилі (v).
Сукупність частинок середовища, які коливаються в однаковій фазі, формує фронт хвилі. З цього погляду хвилі поділяються на два види.
(1) Якщо джерело хвилі є точкою, з якої вона поширюється в усіх напрямках, то утворюється сферична хвиля.
(2) Якщо джерело хвилі – плоска поверхня, що коливається, то утворюється плоска хвиля.
Зміщення частинок плоскої хвилі можна описати загальним рівнянням для всіх типів хвильового руху: S = A·sin ω · (t - x/v) (10)
Це означає, що величина зміщення (S) для кожного значення часу (t) і відстані від джерела хвилі (x) залежить від амплітуди коливання (A), кутової частоти (ω) і швидкості хвилі (v).
Ефект Доплера
Ефект Доплера - зміна частоти хвилі, яку сприймає спостерігач (приймач) унаслідок відносного руху джерела хвиль і спостерігача. Якщо джерело хвиль наближається до спостерігача, кількість хвиль, що надходять до спостерігача, щосекунди перевищує кількість хвиль, яку випромінює джерело. Якщо джерело хвиль віддаляється від спостерігача, то кількість випромінюваних хвиль більша, ніж тих, що надходять до спостерігача.
Аналогічний ефект виникає й тоді, коли спостерігач переміщується відносно нерухомого джерела.
Прикладом ефекту Доплера є зміна частоти гудка потяга при його наближенні до спостерігача і віддаленні від нього.
Загальне рівняння для ефекту Доплера має вигляд
Аналогічний ефект виникає й тоді, коли спостерігач переміщується відносно нерухомого джерела.
Прикладом ефекту Доплера є зміна частоти гудка потяга при його наближенні до спостерігача і віддаленні від нього.
Загальне рівняння для ефекту Доплера має вигляд
Зображення
Тут νдж - частота хвиль, що випромінюються джерелом, і νприйм - частота хвиль, сприйнята спостерігачем. ν0 - швидкість хвиль у нерухомому середовищі, νприйм і νдж - швидкості спостерігача і джерела хвиль відповідно. Верхні знаки у формулі стосуються випадку, коли джерело і спостерігач переміщуються назустріч один одному. Нижні знаки стосуються випадку віддалення одне від одного джерела і спостерігача хвиль.
Зміну частоти хвиль унаслідок ефекту Доплера називають доплерівським зсувом частоти. Це явище використовується для вимірювання швидкості переміщення різних тіл, зокрема еритроцитів у кровоносних судинах.
Дивіться задачі на тему "механічні коливання"
Зміну частоти хвиль унаслідок ефекту Доплера називають доплерівським зсувом частоти. Це явище використовується для вимірювання швидкості переміщення різних тіл, зокрема еритроцитів у кровоносних судинах.
Дивіться задачі на тему "механічні коливання"