Як же це може бути, що, коли переходять від (3.15) до (3.17), тобто коли відкривається більше каналів, крізь фільтри починає проходити менше атомів? Це і є старий, глибокий секрет квантової механіки — інтерференція амплітуд. З такого роду парадоксом ми вперше зустрілися в інтерференційному досліді, коли електрони проходили крізь дві щілини. Пам'ятаєте, ми тоді побачили, що часом де-не-де виходить менше електронів, коли обидві щілини відкриті, ніж коли відкрита одна. Числово це виходить ось як. Можна написати амплітуду того, що атом пройде в приладі (3.17) через T і S′ у вигляді суми трьох амплітуд — по одній для кожного з трьох пучків у T; ця сума дорівнює нулю:
Зображення
Жодна з трьох окремих амплітуд не дорівнює нулю: наприклад, квадрат модуля другої амплітуди є γα [див. (3.15)], але їхня сума дорівнює нулю. Та сама відповідь вийшла б, якби ми налаштували S′ на те, щоб відбирати стан (— S). Однак за розташування (3.16) відповідь уже інша. Якщо позначити амплітуду проходження через T і S′ буквою a, то в цьому випадку ми матимемо
Зображення
У досліді (3.16) пучок спершу розщеплювався, а потім відновлювався. Як ми бачимо, Шалтая-Болтая вдалося зібрати назад. Інформація про початковий стан (+ S) збереглася — усе виглядає так, наче приладу T зовсім не було. І це буде правильно, що б не поставили за «розкритим до відказу» приладом T. Можна поставити за ним фільтр R — під якимось незвичайним кутом — чи що завгодно. Відповідь буде завжди однакова, наче атоми йшли в S′ прямо з першого фільтра S.
Отже, ми прийшли до важливого принципу: фільтр T або будь-який інший із відкритими до відказу заслінками не призводить ні до яких змін. Треба тільки згадати одну додаткову умову. Відкритий фільтр повинен не тільки пропускати всі три пучки, а й не спричиняти в них неоднакових збурень. Наприклад, у ньому не повинно бути сильного електричного поля поблизу одного з пучків, якого не було б біля інших. Причина полягає ось у чому: хоча це додаткове збурення може й не завадити всім атомам пройти крізь фільтр, воно може призвести до зміни фаз деяких амплітуд. Тоді інтерференція стала б не такою, якою була, і амплітуди (3.18) і (3.19) стали б іншими. Ми завжди будемо припускати, що таких додаткових збурень немає.
Перепишемо (3.18) і (3.19) у поліпшених позначеннях. Нехай i позначає будь-який із трьох станів (+ T), (0 T) і (–T); тоді рівняння можна написати так:
Отже, ми прийшли до важливого принципу: фільтр T або будь-який інший із відкритими до відказу заслінками не призводить ні до яких змін. Треба тільки згадати одну додаткову умову. Відкритий фільтр повинен не тільки пропускати всі три пучки, а й не спричиняти в них неоднакових збурень. Наприклад, у ньому не повинно бути сильного електричного поля поблизу одного з пучків, якого не було б біля інших. Причина полягає ось у чому: хоча це додаткове збурення може й не завадити всім атомам пройти крізь фільтр, воно може призвести до зміни фаз деяких амплітуд. Тоді інтерференція стала б не такою, якою була, і амплітуди (3.18) і (3.19) стали б іншими. Ми завжди будемо припускати, що таких додаткових збурень немає.
Перепишемо (3.18) і (3.19) у поліпшених позначеннях. Нехай i позначає будь-який із трьох станів (+ T), (0 T) і (–T); тоді рівняння можна написати так:
Зображення
Точно так само в досліді, у якому S′ замінюється цілком довільним фільтром R, ми маємо
Зображення
Результати будуть завжди такими самими, як якби прилад T прибрали і залишилося б тільки
Зображення
Або математичною мовою
Зображення
Це і є наш основний закон, і він справедливий завжди, якщо тільки i позначає три базисних стани будь-якого фільтра.
Зауважте, що в досліді (3.22) жодного особливого зв'язку між S, R і T не було. Більш того, міркування залишилися б тими самими незалежно від того, які стани ці фільтри відбирають. Щоб написати рівняння в загальному вигляді без посилань на якісь особливі стани, відбирані приладами S і R, позначимо через φ стан, що готується першим приладом (у нашому частинному прикладі + S), а через x — стан, що піддається випробуванню в кінцевому фільтрі (у нашому прикладі + R). Тоді ми можемо сформулювати наш основний закон (3.23) так:
Зауважте, що в досліді (3.22) жодного особливого зв'язку між S, R і T не було. Більш того, міркування залишилися б тими самими незалежно від того, які стани ці фільтри відбирають. Щоб написати рівняння в загальному вигляді без посилань на якісь особливі стани, відбирані приладами S і R, позначимо через φ стан, що готується першим приладом (у нашому частинному прикладі + S), а через x — стан, що піддається випробуванню в кінцевому фільтрі (у нашому прикладі + R). Тоді ми можемо сформулювати наш основний закон (3.23) так:
Зображення
де i повинно пробігати по всіх трьох базисних станах якогось певного фільтра.
Хочеться знову підкреслити, що ми розуміємо під базисними станами. Вони нагадують трійку станів, які можна відібрати за допомогою одного з наших приладів Штерна — Герлаха. Одна умова полягає в тому, що якщо у вас є базисний стан, то майбутнє не залежить від минулого. Інша умова — що якщо у вас є повна сукупність базисних станів, то формула (3.24) справедлива для будь-якої сукупності початкових і кінцевих станів φ і х. Але не існує жодної особливої сукупності базисних станів. Ми почали з розгляду базисних станів стосовно приладу T. Так само ми могли б розглянути іншу сукупність базисних станів — стосовно приладу S, приладу R тощо. Ми зазвичай говоримо про базисні стани «в якомусь представленні».
Інша вимога до сукупності базисних станів (у тому чи іншому окремому представленні) полягає в тому, що їм належить повністю відрізнятися один від одного. Під цим ми розуміємо, що якщо є стан (+ T), то для нього немає амплітуди перейти в стан (0 T) або (— T). Якщо i і j позначають два базисних стани в якомусь представленні, то загальні правила, які ми обговорювали у зв'язку з (3.8), говорять, що
Хочеться знову підкреслити, що ми розуміємо під базисними станами. Вони нагадують трійку станів, які можна відібрати за допомогою одного з наших приладів Штерна — Герлаха. Одна умова полягає в тому, що якщо у вас є базисний стан, то майбутнє не залежить від минулого. Інша умова — що якщо у вас є повна сукупність базисних станів, то формула (3.24) справедлива для будь-якої сукупності початкових і кінцевих станів φ і х. Але не існує жодної особливої сукупності базисних станів. Ми почали з розгляду базисних станів стосовно приладу T. Так само ми могли б розглянути іншу сукупність базисних станів — стосовно приладу S, приладу R тощо. Ми зазвичай говоримо про базисні стани «в якомусь представленні».
Інша вимога до сукупності базисних станів (у тому чи іншому окремому представленні) полягає в тому, що їм належить повністю відрізнятися один від одного. Під цим ми розуміємо, що якщо є стан (+ T), то для нього немає амплітуди перейти в стан (0 T) або (— T). Якщо i і j позначають два базисних стани в якомусь представленні, то загальні правила, які ми обговорювали у зв'язку з (3.8), говорять, що
Зображення
для будь-яких нерівних між собою i і j. Звісно, ми знаємо, що
Зображення
Ці два рівняння зазвичай пишуть так:
Зображення
де δij- («символ Кронекера») — символ, що за визначенням дорівнює нулю при i ≠ j і одиниці при i = j.
Рівняння (3.25) не є незалежним від решти законів, про які ми згадували. Буває, що нас не особливо цікавить математична задача пошуку найменшої сукупності незалежних аксіом, з яких усі закони випливуть як наслідки. Нам цілком достатньо мати сукупність, яка повна і на вигляд несуперечлива. Однак ми беремося показати, що (3.25) і (3.24) не є незалежними. Нехай φ у (3.24) представляє один із базисних станів тієї самої сукупності, що й i, скажімо j-й стан; тоді ми маємо
Рівняння (3.25) не є незалежним від решти законів, про які ми згадували. Буває, що нас не особливо цікавить математична задача пошуку найменшої сукупності незалежних аксіом, з яких усі закони випливуть як наслідки. Нам цілком достатньо мати сукупність, яка повна і на вигляд несуперечлива. Однак ми беремося показати, що (3.25) і (3.24) не є незалежними. Нехай φ у (3.24) представляє один із базисних станів тієї самої сукупності, що й i, скажімо j-й стан; тоді ми маємо
Зображення
Але (3.25) стверджує, що <i | j> дорівнює нулю, якщо тільки i не дорівнює j, тож сума перетворюється просто на <x | j> і виходить тотожність, що свідчить про те, що ці два закони не є незалежними.
Можна побачити, що якщо справедливі обидва рівняння (3.25) і (3.24), то між амплітудами має існувати ще одне співвідношення. Рівняння (3.10) мало вигляд
Можна побачити, що якщо справедливі обидва рівняння (3.25) і (3.24), то між амплітудами має існувати ще одне співвідношення. Рівняння (3.10) мало вигляд
Зображення
Якщо тепер поглянути на (3.24) і припустити, що і φ, і x — це стан ( + S), то зліва вийде <+S | + S>, а це, звісно, дорівнює одиниці, і ми повинні отримати (3.19)
Зображення
Ці два рівняння узгоджуються одне з одним (для всіх відносних орієнтацій приладів T і S) тільки тоді, коли
Зображення
Отже, для будь-яких станів φ і x
Зображення
Якби цього не було, ймовірності «не зберігалися б» і частинки «губилися б».
Перш ніж іти далі, зберемо всі три загальних закони для амплітуд, тобто (3.24) — (3.26):
Перш ніж іти далі, зберемо всі три загальних закони для амплітуд, тобто (3.24) — (3.26):
Зображення
У цих рівняннях i і j стосуються всіх базисних станів якогось одного представлення, тоді як φ і x — це будь-який можливий стан атома. Важливо зазначити, що закон II справедливий лише тоді, коли підсумовування проводиться по всіх базисних станах системи (у нашому випадку по трьох: + T, 0 T, — T). Ці закони нічого не говорять про те, що слід обирати як базис. Ми почали з приладу T, який є дослідом Штерна — Герлаха з якоюсь довільною орієнтацією, але й будь-яка інша орієнтація, скажімо W, теж підійшла б. Замість i і j нам довелося б ставити іншу сукупність базисних станів, але всі закони залишилися б правильними; якоїсь єдиної сукупності не існує. Успіх у квантовій механіці часто визначається тим, чи вмієте ви використовувати цей факт, пам'ятаючи, що розрахунок можна вести через це різними шляхами.