Механіка квантової механіки

Ми покажемо вам зараз, чому корисні ці закони. Нехай у нас є атом у заданому стані (під цим ми розуміємо, що він якось був приготований), і ми хочемо знати, що з ним буде в такому-то досліді. Іншими словами, ми починаємо зі стану φ атома і хочемо знати, які шанси, що він пройде через прилад, який пропускає атоми тільки в стані x. Закони говорять, що ми можемо повністю описати прилад трьома комплексними числами <x | i > — амплітудами того, що кожен із базисних станів опиниться в стані x, і що ми, пустивши атом у прилад, можемо передбачити, що станеться, якщо опишемо стан атома, задавши три числа < i | φ>,— амплітуди того, що атом зі свого початкового стану перейде в будь-який із трьох базисних станів. Це дуже й дуже важлива ідея. Розглянемо іншу ілюстрацію. Подумаємо про таку задачу. Починаємо з приладу S, потім є якась складна мішанина, яку ми позначаємо A, а далі стоїть прилад R:

Під A ми розуміємо будь-яке складне розташування приладів Штерна — Герлаха — з перегородками і напівперегородками, під усілякими кутами, з незвичайними електричними і магнітними полями,— словом, годиться все, що вам спаде на думку. (Дуже приємно ставити уявні експерименти — тоді нас не турбують жодні клопоти, що виникають при реальній побудові приладів!) Задача полягає ось у чому: з якою амплітудою частинка, що входить в область A у стані (+ S), вийде з неї у стані (0 R), так що зможе пройти через останній фільтр R? Є стандартне позначення для такої амплітуди:

Як зазвичай, це треба читати справа наліво:

Якщо випадково виявиться, що це A нічого не змінює, а просто є відкритим каналом, тоді ми пишемо

ці два символи рівнозначні. У більш загальних задачах ми можемо замінити (+ S) загальним початковим станом φ, а (0 R) — загальним кінцевим станом x і захотіти дізнатися амплітуду

Повний аналіз приладу A повинен був би дати нам амплітуду <x | A | φ > для кожної мислимої пари станів φ і x — нескінченна кількість комбінацій! Як же зможемо ми тоді дати короткий опис поведінки приладу A? Це можна зробити таким шляхом. Уявімо, що ми видозмінили прилад (3.28) так:

Насправді це зовсім не видозміна, тому що широко розкриті прилади T нічого ніде не змінюють. Але вони підказують нам, як проаналізувати проблему. Є певна сукупність амплітуд <i | +S> того, що атоми з S перейдуть у стан i приладу T. Потім є інша сукупність амплітуд того, що стан i (стосовно T), увійшовши в A, вийде звідти у вигляді стану j (стосовно T). І нарешті, є амплітуда того, що кожен стан j пройде через останній фільтр у вигляді стану (0 R). Для кожного допустимого шляху існує амплітуда вигляду

і повна амплітуда є сумою членів, які можна отримати з усіх сполучень i і j. Потрібна нам амплітуда дорівнює

Якщо (0 R) і (+S) замінити загальними станами x і φ, то вийде вираз такого самого роду; тож загальний результат виглядає так:

Тепер зауважте, що права частина (3.32) насправді «простіша» за ліву частину. Прилад A повністю описаний дев'ятьма числами < j |A| i >, що повідомляють, який відгук A на три базисних стани приладу T. Щойно ми дізнаємося цю дев'ятку чисел, ми зможемо впоратися з будь-якою парою вхідних і вихідних станів φ і x, якщо тільки визначимо кожен із них через три амплітуди переходу в кожен із трьох базисних станів (або виходу з них). Результат досліду передбачається за допомогою рівняння (3.32).
 
У цьому й полягає основний висновок квантової механіки частинки зі спіном 1. Кожен стан описується трійкою чисел — амплітудами перебування в кожному з базисних станів (з обраної їх сукупності). Будь-який прилад описується дев'яткою чисел — амплітудами переходу в приладі з одного базисного стану в інший. Знаючи ці числа, можна підрахувати що завгодно.
 
Дев'ятка амплітуд, що описує прилад, часто зображується  у вигляді квадратної матриці,  іменованої матрицею < j |A| i >:

Уся математика квантової механіки є простим розширенням цієї ідеї. Наведемо нескладний приклад. Нехай є прилад C, який ми хочемо проаналізувати, тобто розрахувати різні < j |C| i >. Скажімо, ми хочемо знати, що станеться в експерименті типу

Але потім ми помічаємо, що C просто складається з двох частин, приладів A і B, що стоять один за одним. Спершу частинки проходять через A, а потім — через B, тобто можна символічно записати

Ми можемо прилад C назвати «добутком» A і B. Припустимо також, що ми вже знаємо, як ці дві частини аналізувати; таким чином, ми можемо дізнатися матриці A і B (стосовно T). Тоді наша задача розв'язана. Ми легко знайдемо <x | C | φ> для будь-яких вхідних і вихідних станів. Спершу ми напишемо

Розумієте, чому? (Підказка: уявіть, що між A і B поставлено прилад T.) Якщо ми потім розглянемо особливий випадок, коли φ і x також базисні стани (приладу T), скажімо i і  j, то отримаємо

Це рівняння дає нам матрицю приладу «добутку» C через матриці приладів A і B. Математики іменують нову матрицю < j | C | i >, утворену з двох матриць < j | B | i > і < j | A | i > відповідно до правила, вказаного в (3.36), матричним «добутком» B A двох матриць B і A. (Зауважте, що порядок суттєвий, АВ ≠ ВА.) Отже, можна сказати, що матриця для двох частин приладу, що стоять одна за одною, — це матричний добуток матриць для цих двох приладів порізно (причому перший прилад стоїть у добутку справа). І кожен, хто знає матричну алгебру, зрозуміє, що йдеться просто про рівняння (3.36).