Ми почали з того, що підкреслили, що наші міркування про частинку зі спіном 1 стануть прототипом будь-яких квантовомеханічних задач. Узагальнення вимагає тільки кількість станів. Замість трійки базисних станів в інших випадках може знадобитися n базисних станів . Форма наших основних законів (3.27) залишиться тією самою, якщо тільки розуміти, що i і j повинні пробігати по всіх n базисних станах. Будь-яке явище можна проаналізувати, задавши амплітуди того, що воно починається з будь-якого базисного стану і закінчується теж у будь-якому базисному стані, а потім просумувавши по всій повній системі базисних станів. Можна використовувати будь-яку придатну систему базисних станів, і кожен вправі обрати ту, яка йому до душі; зв'язок між будь-якою парою базисів здійснюється матрицею перетворень n X n. Пізніше ми детальніше розповімо про ці перетворення.
Нарешті, ми пообіцяли розповісти про те, що треба робити, якщо атоми прямо з печі проходять через якийсь прилад A і потім аналізуються фільтром, який відбирає стан x. Ви не знаєте, яким є той стан φ, у якому вони входять у прилад. Найкраще, напевно, було б, якби ви, не думаючи поки про цю проблему, займалися такими задачами, у яких спочатку є тільки чисті стани. Але якщо вже ви на цьому наполягаєте, то ось як розправляються з цією проблемою.
Перш за все ви повинні бути в змозі зробити розумні припущення про те, яким чином розподілені стани в атомах, що виходять із печі. Наприклад, якщо в печі немає нічого «особливого», то розумно припустити, що атоми покидають піч, будучи «орієнтовані» як попало. Квантовомеханічно це відповідає вашому твердженню про те, що про стани ви не знаєте нічого, крім того, що третина атомів перебуває в стані (+ S), третина — у стані (0 S) і третина — у стані (— S). Для тих, що перебувають у стані (+S), амплітуда пройти крізь A є <x | A | + S>, а ймовірність | <x | A | + S> | 2. Те саме і для інших. Загальна ймовірність тоді дорівнює
Нарешті, ми пообіцяли розповісти про те, що треба робити, якщо атоми прямо з печі проходять через якийсь прилад A і потім аналізуються фільтром, який відбирає стан x. Ви не знаєте, яким є той стан φ, у якому вони входять у прилад. Найкраще, напевно, було б, якби ви, не думаючи поки про цю проблему, займалися такими задачами, у яких спочатку є тільки чисті стани. Але якщо вже ви на цьому наполягаєте, то ось як розправляються з цією проблемою.
Перш за все ви повинні бути в змозі зробити розумні припущення про те, яким чином розподілені стани в атомах, що виходять із печі. Наприклад, якщо в печі немає нічого «особливого», то розумно припустити, що атоми покидають піч, будучи «орієнтовані» як попало. Квантовомеханічно це відповідає вашому твердженню про те, що про стани ви не знаєте нічого, крім того, що третина атомів перебуває в стані (+ S), третина — у стані (0 S) і третина — у стані (— S). Для тих, що перебувають у стані (+S), амплітуда пройти крізь A є <x | A | + S>, а ймовірність | <x | A | + S> | 2. Те саме і для інших. Загальна ймовірність тоді дорівнює
Зображення
Але чому ми користувалися S, а не T або якимось іншим представленням? Річ у тім, що, хоч як це дивно, відповідь не залежить від того, яким був вихідний розклад; вона одна й та сама, якщо тільки ми маємо справу з цілком випадковими орієнтаціями. Так само виходить, що
Зображення
для будь-якого x. (Доведіть-но це самі!)
Зауважте, що неправильно говорити, нібито вхідні стани мають амплітудою √1/3 бути в стані (+ S), √1/3 у стані (0 S) і √1/3 у стані (— S); якби це було так, були б допустимі якісь інтерференції. Тут ви просто не знаєте, яким є початковий стан; ви зобов'язані думати мовою ймовірностей, що система спершу перебуває в усіх мислимих початкових станах, а потім взяти середньозважене по всіх можливостях.
Зауважте, що неправильно говорити, нібито вхідні стани мають амплітудою √1/3 бути в стані (+ S), √1/3 у стані (0 S) і √1/3 у стані (— S); якби це було так, були б допустимі якісь інтерференції. Тут ви просто не знаєте, яким є початковий стан; ви зобов'язані думати мовою ймовірностей, що система спершу перебуває в усіх мислимих початкових станах, а потім взяти середньозважене по всіх можливостях.