Хвилі в діелектрику

Тепер нам належить з'ясувати, якого сорту електромагнітні хвилі можуть існувати в діелектричній речовині, де інших зарядів, крім тих, що зв'язані в атомах, немає. Таким чином, ми візьмемо ρ = –V·P і j = ∂P/∂t. При цьому рівняння Максвелла наберуть такого вигляду:

Ми можемо розв'язати ці рівняння, як робили це раніше. Почнемо із застосування до рівняння (32.19в) операції ротора:

Використовуючи потім векторну тотожність

і підставляючи вираз для VxB з (32.19б), отримуємо

Використовуючи рівняння (32.19а) для V·E, знаходимо

Таким чином, замість хвильового рівняння ми тепер отримали, що даламбертіан Е дорівнює двом членам, які містять поляризацію Р.
 
Однак Р залежить від Е, тому рівняння (32.20) все ще допускає хвильові розв'язки. Зараз ми обмежимося ізотропними діелектриками, тобто Р завжди матиме той самий напрямок, що й Е. Спробуємо знайти розв'язок для хвилі, що рухається в напрямку осі z. Електричне поле при цьому змінюватиметься як e^i(ωt–kz). Припустимо також, що хвиля поляризована в напрямку осі x, тобто що електричне поле має тільки x-компоненту. Все це записується таким чином:

Ви знаєте, що будь-яка функція від (z—vt) являє собою хвилю, що біжить зі швидкістю v. Показник експоненти у виразі (32.21) можна переписати у вигляді

так що вираз (32.21) являє собою хвилю, фазова швидкість якої дорівнює

У розд. 31 (вип. 3) показник заломлення n визначався нами з формули

З урахуванням цієї формули (32.21) набуває вигляду

Таким чином, показник n можна визначити, якщо ми знайдемо ту величину k, яка необхідна, щоб вираз (32.21) задовольняв відповідні рівняння поля, і потім скористаємося співвідношенням

У ізотропному матеріалі поляризація матиме тільки x-компоненту; крім того, Р не змінюється зі зміною координати x, тому V·P=0 і ми одразу ж позбавляємося від першого члена в правій стороні рівняння (32.20). До того ж ми вважаємо наш діелектрик «лінійним», тому Р_x змінюватиметься як е^iωt і ∂²P_x/∂t² = –ω²Р_x. Лапласіан же в рівнянні (32.20) перетворюється просто на ∂²E_x/∂z²= –к²Е_x, так що в результаті отримуємо

Тепер на хвилину припустимо, що раз Е змінюється синусоїдально, то Р можна вважати пропорційною Е, як у рівнянні (32.5). (Пізніше ми повернемося до цього припущення і обговоримо його.) Таким чином, пишемо

При цьому Е_x випадає з рівняння (32.23), і ми знаходимо

Ми отримали, що хвиля виду (32.21) з хвильовим числом k, яке задається рівнянням (32.24), задовольнятиме рівняння поля. Використання ж виразу (32.22) для показника n дає

Порівняємо цю формулу з тим, що вийшло у нас для показника заломлення газу (розд. 31, вип. 3). Там ми знайшли рівняння (31.19), яке тоді мало вигляд

Формула (32.25) після підстановки α з (32.6) дає

Що тут нового? По-перше, з'явився новий член iγω, що виник у результаті врахування поглинання енергії в осциляторах. По-друге, зліва замість n тепер стоїть n² і, крім того, відсутній додатковий множник ¹/₂. Але зауважте, що якщо значення N досить мале, так що n близький до одиниці (як це має місце в газі), то вираз (32.27) говорить, що n² дорівнює одиниці плюс деяке мале число, тобто n²=1+ε. За цієї умови ми можемо написати, що n=√1+ε ≈1+ ε/2, і обидва вирази виявляються еквівалентними. Таким чином, наш новий метод дає для газу той самий, знайдений нами раніше результат.
 
Тепер можна сподіватися, що вираз (32.27) повинен давати показник заломлення і для густих матеріалів. Але з деяких причин він потребує модифікації. По-перше, при виведенні цього рівняння передбачалося, що поляризоване поле, яке діє на кожен з атомів,— це поле Е_x. Однак таке припущення невірне, оскільки в густому матеріалі існують й інші поля, створювані сусідніми атомами, які можуть бути порівнянними з Е_x. Аналогічну задачу ми вже розглядали при вивченні статичних полів у діелектрику (див. розд. 11, вип. 5). Ви, ймовірно, пам'ятаєте, що ми знайшли поле, яке діє на окремий атом; уявивши його таким, що сидить у сферичній порожнині в навколишньому діелектрику. Поле в такій порожнині (ми назвали його локальним) збільшується порівняно із середнім полем Е на величину Р/Зε₀. (Не забудьте, однак, що цей результат, строго кажучи, справедливий тільки для ізотропного матеріалу, а також у випадку кубічного кристала.)
 
Ті самі міркування правильні і для електричного поля в хвилі, але доти, поки довжина її набагато більша за відстань між атомами. За такого обмеження

Саме це локальне поле слід використовувати замість Е в (32.8), тобто цей вираз має бути переписаний таким чином:

Підставляючи тепер Е_лок з формули (32.28), знаходимо

Іншими словами, Р для густого матеріалу все ще пропорційна Е (для синусоїдального поля). Однак константа пропорційності буде вже ε₀Nα/ [1 — (Nα/З)], а не ε₀Nα, як раніше. Таким чином, нам потрібно поправити формулу (32.25):

Зручніше переписати це у вигляді

який алгебраїчно еквівалентний попередньому. Це і є відома формула Клаузіуса — Моссотті.
 
У густому матеріалі виникає й інше ускладнення. Оскільки атоми розташовані надто тісно, вони сильно взаємодіють один з одним. Тому внутрішні гармоніки осциляції змінюються. Власні частоти атомних осциляцій розмазуються цими взаємодіями і зазвичай дуже сильно пригнічуються ними, а коефіцієнт тертя стає дуже великим. Таким чином, усі ω₀ і γ твердої речовини будуть іншими, ніж для вільних атомів. З цим застереженням ми все ж можемо представляти α, принаймні наближено, рівнянням (32.7), так що

Нарешті, останнє ускладнення. Якщо густий матеріал являє собою суміш кількох компонент, то кожна з них дає свій внесок у поляризацію. Повна α буде сумою внесків різних компонент суміші [за винятком неточності наближення локального поля в упорядкованих кристалах, тобто виразу (32.28) —ефекти, які ми обговорювали при розгляді сегнетоелектриків]. Позначаючи через N_j число атомів кожної компоненти в одиниці об'єму, ми повинні замінити формулу (32.32) такою:

де кожна α_j- визначатиметься виразом типу (32.7). Вираз (32.34) завершує нашу теорію показника заломлення. Величина 3(n²–1)/(n²+2) задається комплексною функцією частоти, якою є середня атомна поляризовність α(ω). Точне обчислення α(ω) (тобто знаходження f_k, γ_k і ω_ok) для густої речовини — одна з найважчих задач квантової механіки. Це було зроблено тільки для кількох особливо простих речовин.