Низькочастотне і високочастотне наближення. Глибина скін-шару і плазмова частота

Наш результат для показника заломлення в металах — формула (32.42) — передбачає для поширення хвиль з різними частотами абсолютно різні характеристики. Насамперед давайте подивимося, що виходить при низьких частотах. Якщо величина ω досить мала, то (32.42) можна наближено записати у вигляді

Піднесенням до квадрата можна перевірити, що

Дійсна та уявна частини n мають одну й ту саму величину. З такою великою уявною частиною n хвилі в металах затухають дуже швидко. Відповідно до виразу (32.36) амплітуда хвилі, що йде в напрямку осі z, зменшується як

де δ — це та відстань, на якій амплітуда хвилі зменшується в е=2,72 раза, тобто приблизно в 3 рази. Амплітуда такої хвилі, як функція від z, показана на фіг. 32.3. Оскільки електромагнітні хвилі проникають углиб металу тільки на цю відстань, величина δ називається глибиною скін-шару і визначається виразом

Але що все ж таки ми розуміємо під «низькими» частотами? Поглянувши на рівняння (32.42), ми бачимо, що його можна наближено замінити рівнянням (32.44), тільки коли ωτ набагато менше одиниці і коли (ωε₀/σ також набагато менше одиниці, тобто наше низькочастотне наближення застосовне при

Давайте подивимося, які частоти відповідають цьому наближенню для такого типового металу, як мідь. Для обчислення τ скористаємося рівнянням (32.43), а для обчислення σ/ε₀ — відомими значеннями σ і ε₀. Довідник дає нам такі дані:

Якщо ми припустимо, що на кожен атом припадає по одному вільному електрону, то число електронів у кубічному метрі дорівнюватиме

Таким чином, для частот, менших ніж приблизно 10¹² гц, мідь матиме описану нами «низькочастотну» поведінку. (Це будуть хвилі з довжиною, більшою за 0,3 мм, тобто дуже короткі радіохвилі!)
 
Для таких хвиль глибина скін-шару дорівнює

Для мікрохвиль з частотою 10 000 Мгц (3-сантиметрові хвилі)

тобто хвилі проникають на дуже малу відстань.  
Тепер ви бачите, чому при вивченні порожнин (і хвилеводів) нам потрібно турбуватися тільки про поля всередині порожнини, а не про хвилі в металі чи поза порожниною. Крім того, ми бачимо, чому срібнення або волочіння порожнини зменшує втрати в ній. Адже втрати відбуваються завдяки струмам, які відчутні тільки в тонкому шарі, що дорівнює глибині скін-шару.
 
Розглянемо тепер показник заломлення в металі типу міді при високих частотах. Для дуже високих частот ωτ набагато більше одиниці, і рівняння (32.42) дуже добре апроксимується таким:

Для високочастотних хвиль показник заломлення в металах стає чисто дійсним і меншим за одиницю! Це випливає також з виразу (32.38), якщо знехтувати дисипативним членом з γ, що може бути зроблено при дуже великих значеннях ω. Вираз (32.38) дає при цьому

що, звичайно, еквівалентно рівнянню (32.50). Раніше нам уже зустрічалася величина (Nq_e²/ε₀m)^1/₂, яку ми назвали плазмовою частотою (див. розд. 7, § 3, вип. 5):

Таким чином, (32.50) або (32.51) можна переписати в  вигляді

Ця плазмова частота є свого роду «критичною».
 
Для ω<ω_p показник заломлення металу має уявну частину і відбувається поглинання хвиль, але при ω»ω_p показник стає дійсним, а метал — прозорим. Ви знаєте, звичайно, що метали достатньою мірою прозорі для рентгенівських променів. Але деякі метали прозорі навіть для ультрафіолету. У табл. 32.3 ми наводимо для деяких металів експериментально спостережувані довжини хвиль, при яких ці метали починають ставати прозорими. У другій колонці дана обчислена критична довжина хвилі λ_p=2πс/ω_p. Враховуючи, що експериментальна довжина хвилі визначена не дуже добре, згоду з теорією слід визнати чудовою.

Вас може здивувати, чому плазмова частота ω_p повинна мати відношення до поширення хвиль у металах. Плазмова частота з'явилася у нас у розд. 7 (вип. 5) як власна частота коливань густини вільних електронів. (Електричне розштовхування групи електронів та їхня інерція приводять до коливань густини.) Поздовжні хвилі плазми резонують при частоті ω_p. Але зараз ми говоримо про поперечні хвилі, і ми вже знайшли, що при частотах, менших ω_p, відбувається їхнє поглинання. (Це дуже цікавий і аж ніяк не випадковий збіг.)
 
Хоча ми весь час говорили про поширення хвиль у металах, ви водночас, мабуть, відчули універсальність явищ фізики: немає ніякої різниці в тому, чи перебувають вільні електрони в металі, в плазмі, в іоносфері Землі чи в атмосфері зір. Щоб зрозуміти поширення радіохвиль в іоносфері, можна скористатися тим самим виразом, звичайно, при належних значеннях величин N і τ. Тепер ми можемо бачити, чому довгі радіохвилі поглинаються або відбиваються іоносферою, тоді як короткі вільно проходять крізь неї. (Тому для зв'язку зі штучними супутниками Землі повинні застосовуватися короткі хвилі.)
 
Ми говорили про поширення граничних високо- і низькочастотних хвиль у металах. Для проміжних же частот необхідно використовувати «повноважне» рівняння (32.42). У загальному випадку показник заломлення матиме дійсну та уявну частини, і при поширенні хвиль у металах відбувається їхнє поглинання. Дуже тонкі шари металу прозорі навіть для звичайних оптичних частот. Як приклад наведемо спеціальні захисні окуляри для робітників, які працюють біля високотемпературних печей. Ці окуляри виготовляються напиленням на скло дуже тонкого шару золота; це скло достатньо прозоре для видимого світла і на просвіт виглядає як зелене, але інфрачервоні промені сильно поглинає.
 
І, нарешті, від читача неможливо приховати той факт, що багато з цих формул певною мірою нагадують формули для діелектричної проникності х, розглянуті в розд. 10 (вип. 5). Діелектричною проникністю х вимірюється реакція матеріалу на статичне електричне поле, тобто коли ω = 0. Якщо ви подивитеся уважніше на визначення n і x, то виявите, що х є не що інше, як межа n² при ω→0. Справді, поклавши в рівняннях цього розділу ω =0 і n² = x, ми відтворимо рівняння теорії діелектричної проникності розд. 11 (вип. 5).