Рівняння Максвелла в діелектрику

Наявність у речовині поляризації означає, що там виникають поляризаційні заряди і струми, які необхідно враховувати в повних рівняннях Максвелла при знаходженні полів. Зараз ми збираємося розв'язувати рівняння Максвелла для випадку, коли заряди і струми не дорівнюють нулю, але неявно визначаються вектором поляризації. Нашим першим кроком має бути явне знаходження густини зарядів ρ і густини струму j, усереднених за тим самим малим об'ємом, який малося на увазі при визначенні вектора Р. Потім необхідні нам значення ρ і j можуть бути визначені з поляризації. У розд. 10 (вип. 5) ми бачили, що коли поляризація Р змінюється від точки до точки, то виникає густина зарядів:

Тоді ми мали справу зі статичними полями, але ця сама формула справедлива і для змінних полів. Але коли Р змінюється з часом, заряди рухаються, так що з'являється поляризаційний струм. Кожен з осцилюючих зарядів вносить у струм свій внесок, що дорівнює добутку його заряду q_e на швидкість v. Коли ж таких зарядів в одиниці об'єму N штук, то вони створюють густину струму j:

Ну а оскільки відомо, що v=dx/dt, то j=Nq_edx/dt, що якраз  дорівнює dP/dt. Отже, при змінній поляризації виникає густина струму

Наше завдання стало тепер простим і зрозумілим. Ми пишемо рівняння Максвелла з густинами заряду і струму, що визначаються поляризацією Р за допомогою рівнянь (32.9) і (32.10). (Передбачається, що інших зарядів і струмів у речовині немає.) Потім ми зв'яжемо Р з Е формулою (32.5) і розв'язуватимемо їх відносно Е і В, відшукуючи при цьому хвильовий розв'язок.
 
Але перш ніж приступити до розв'язання, мені хотілося б зробити одне зауваження історичного характеру. Спочатку Максвелл писав свої рівняння у формі, що відрізняється від тієї, в якій вони використовуються нами. І саме тому, що рівняння писалися в іншій формі протягом багатьох років (та й зараз багатьма пишуться так), я постараюся пояснити вам різницю. У ті дні механізм діелектричної проникності не був зрозумілий з ясністю і повнотою. Не була зрозумілою ні природа атомів, ні існування поляризації в речовині. Тому тоді не розуміли, що V·P дає додатковий внесок у густину заряду ρ. Були відомі тільки заряди, не зв'язані в атомах (такі, як заряди, що течуть по дроту або виникають при терті).
 
Сьогодні ж ми надаємо перевагу позначати через ρ повну густину зарядів, включаючи в неї і заряди, зв'язані з індивідуальними атомами. Якщо назвати цю частину зарядів ρ_пол, то можна написати

де ρ_др— густина зарядів, яку врахував Максвелл і яка стосується інших зарядів, не зв'язаних з певними атомами. При цьому ми б написали

Після підстановки ρ_пол з (32.9) отримуємо

У густину струму, що фігурує в рівняннях Максвелла для VxB, взагалі кажучи, теж  вноситься внесок від зв'язаних атомних електронних струмів.  Тому ми можемо написати

причому рівняння Максвелла набуває вигляду

Тепер ви бачите, що якби ми визначили новий вектор D

Це і є та форма рівнянь, яку використовував Максвелл для діелектриків. А ось і решта двох рівнянь:

які в точності збігаються з нашими.
 
Перед Максвеллом та іншими вченими того часу поставала проблема магнетиків (за них ми незабаром візьмемося). Вони нічого не знали про циркулюючі струми, відповідальні за атомний магнетизм, і тому в густині струму втратили ще одну частину. Замість рівняння (32.16) вони насправді писали

де Н відрізняється від ε₀с²В, оскільки останнє враховує ефекти атомних струмів. (При цьому j′ являє собою те, що залишилося від струмів.) Таким чином, у Максвелла було чотири польові вектори: Е, D, В і Н, причому в D і Н приховувалося те, на що він не звернув уваги,— процеси, що відбуваються всередині речовини. Рівняння, написані в такому вигляді, ви зустрінете в багатьох місцях.
 
Щоб розв'язати їх, необхідно якось зв'язати D і Н з іншими полями, тому часто писали

Однак ці зв'язки правильні лише наближено для деяких речовин, і то лише коли поля не змінюються надто швидко з часом. (Для синусоїдально змінюваних полів часто можна писати рівняння таким способом, вважаючи при цьому ε і μ комплексними функціями частоти, але для довільних змін поля з часом це невірно.) На які тільки хитрощі не йдуть вчені, щоб розв'язати рівняння! А мені здається, що найправильніше залишити рівняння записаними через фундаментальні величини, як ми розуміємо їх тепер, тобто якраз те, що ми і зробили.