Зв'язок маси й енергії

Це спостереження навело Ейнштейна на думку, що масу тіла можна виразити простіше, ніж за формулою (15.1), якщо сказати, що маса дорівнює повному вмісту енергії в тілі, поділеному на с². Якщо (15.11) помножити на с², отримується

До яких наслідків ми прийдемо, якщо слідом за Ейнштейном припустимо, що енергія тіла завжди дорівнює mс²? Тоді ми зможемо вивести формулу (15.1) залежності маси від швидкості, ту саму, яку досі ми приймали на віру. Нехай тіло спершу перебуває в спокої, маючи енергію m₀с². Потім ми прикладаємо до тіла силу, яка зсуває його з місця і надає йому кінетичну енергію; щойно енергія почне зростати, почне зростати і маса (це все закладено в первісному припущенні). Поки сила діє, енергія і маса продовжують зростати. Ми вже бачили (див. розд. 13), що швидкість зростання енергії з часом дорівнює добутку сили на швидкість

За звичайних умов зміни в енергії приводять до дуже малих змін у масі: майже ніколи не вдається з даної кількості речовини видобути багато енергії; але в атомній бомбі з енергією вибуху, еквівалентною 20 000 тонн тринітротолуолу, увесь попіл, що осів після вибуху, на 1 г легший за початкову кількість матеріалу, що розщеплюється. Це тому, що виділилася енергія, яка мала масу 1 г, згідно з формулою ΔЕ = Δ(mс²). Висновок про еквівалентність маси й енергії чудово підтвердився в дослідах з анігіляції матерії — перетворення речовини в енергію. Електрон із позитроном можуть взаємодіяти в стані спокою, маючи кожен масу спокою m₀. При зближенні вони зникають, а замість них випромінюються два γ-промені, кожен знову з енергією m₀с². Цей дослід прямо повідомляє нам про величину енергії, пов'язаної з існуванням маси спокою у частинки. Тут ліва частина дає повну енергію тіла, а в останньому члені справа ми впізнаємо звичайну кінетичну енергію. Ейнштейн осмислив перший член справа (дуже велике стале число m₀c²) як частину повної енергії тіла, а саме як його внутрішню енергію, або «енергію спокою». Крім того, F = d(mv)/dt [див. розд. 9, рівняння (9.1)]. Пов'язавши все це з визначенням Е і підставивши в (15.13), отримаємо Ми хочемо розв'язати це рівняння відносно m. Для цього помножимо обидві частини на 2m. Рівняння перетвориться на Тепер нам потрібно позбутися похідних, т. е. проінтегрувати обидві частини рівності. У величині (2m) dm/dt можна впізнати похідну за часом від m², а в (2mv)*d(mv)/dt — похідну за часом від (mv)². Отже, (15.15) збігається з Коли похідні двох величин рівні, то самі величини можуть відрізнятися не більше ніж на константу С. Це дозволяє написати Визначимо тепер константу С явно. Так як рівняння (15.17) має виконуватися при будь-яких швидкостях, то можна взяти v= 0 і позначити в цьому разі масу через m₀. Підстановка цих чисел у (15.17) дає Це значення С тепер можна підставити в рівняння (15.17). Воно набуває вигляду Розділимо на с² і перенесемо члени з m у ліву частину
m²(1 - v²/c²) = m²₀,
звідки
А це і є формула (15.1), тобто якраз те, що необхідно, щоб у рівнянні (15.12) була відповідність між масою і енергією.