Повернімося знову до питання про геометрію світового простору. Чи можемо ми описувати геометричні фігури, побудовані (подумки) у світовому просторі, за допомогою геометрії Евкліда, чи тут необхідно застосовувати геометрію Лобачевського або Рімана. Евклідову геометрію ми добре знаємо зі шкільного курсу. У цій геометрії твердиться, наприклад, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°, а довжина кола дорівнює 2πr, де r — радіус цього кола. Геометрія Рімана і Лобачевського таких тверджень не містить. Здавалося б, вибір геометрії в принципі не складний. Для цього потрібно «лише» виміряти геометричні фігури в космічному просторі й установити, чи відповідають результати вимірювань евклідовій геометрії чи ні. Якби можна було, наприклад, побудувати коло гігантських (космічних) розмірів із радіусом R і виміряти його довжину, то відразу можна б зробити висновки про геометричні властивості простору. Якби довжина такого кола виявилася рівною 2πR, то ми могли б стверджувати, що у світовому просторі справедлива геометрія Евкліда. Якби довжина кола виявилася більшою чи меншою за 2πR, то ми могли б дійти висновку, що у світовому просторі справедлива геометрія, відмінна від евклідової. Зупинімося на проблемі вимірювання довжини кола.
Рис. 50.
На рис. 50 зображено коло радіуса r. Припустімо, що це коло нерухоме відносно якоїсь інерціальної системи. Нехай у центрі A кола перебувають два спостерігачі: один із них нерухомий відносно кола, а другий обертається з кутовою швидкістю ω. Якщо ми запитаємо першого спостерігача, то він без вагань скаже, що радіус кола дорівнює r, а його довжина становить 2πr. Як оцінить довжину кола спостерігач, що обертається з кутовою швидкістю ω? Відносно нього всі точки кола рухаються зі швидкістю v = ωr. Оскільки кожний невеликий відрізок кола довжиною l рухається з лінійною швидкістю ωr, то, згідно з формулою (4), довжина цього відрізка, виміряна ним, дорівнюватиме
Рис. 50.
На рис. 50 зображено коло радіуса r. Припустімо, що це коло нерухоме відносно якоїсь інерціальної системи. Нехай у центрі A кола перебувають два спостерігачі: один із них нерухомий відносно кола, а другий обертається з кутовою швидкістю ω. Якщо ми запитаємо першого спостерігача, то він без вагань скаже, що радіус кола дорівнює r, а його довжина становить 2πr. Як оцінить довжину кола спостерігач, що обертається з кутовою швидкістю ω? Відносно нього всі точки кола рухаються зі швидкістю v = ωr. Оскільки кожний невеликий відрізок кола довжиною l рухається з лінійною швидкістю ωr, то, згідно з формулою (4), довжина цього відрізка, виміряна ним, дорівнюватимеЗображення
Водночас довжина радіуса кола (перпендикулярного до напрямку обертання) не змінюватиметься й залишиться рівною r. Отже, для визначення довжини кола за його радіусом висновки евклідової геометрії виявляються несправедливими. На думку спостерігача, що обертається, евклідова геометрія непридатна для опису простору, з його погляду простір не є евклідовим.
Наведене міркування вельми наближене, але, попри це, воно вказує на факт непридатності евклідової геометрії в неінерціальних системах. З іншого боку, в попередніх параграфах ми бачили», що неінерціальність системи відліку виявляється у вигляді сили, яку ми в невеликій ділянці простору й упродовж короткого проміжку часу? не можемо відрізнити від сили тяжіння. Замість того щоб говорити про неінерціальну систему відліку, ми можемо говорити про інерціальну систему, в якій діє сила тяжіння. Звідси випливає, що існування в просторі гравітаційного поля зумовлює неевклідовість простору. Чим сильніше гравітаційне поле в розглядуваній ділянці простору, тим більше геометрія цієї ділянки відрізняється від евклідової.
У світовому просторі є гравітаційне поле, отже, він не буде евклідовим. Простір із геометрією, що відрізняється від евклідової, називається «викривленим простором». Реальний світовий простір викривлений. Як ми маємо розуміти цей вислів?
У своїй книзі «Еволюція фізики» А. Ейнштейн і Л. Інфельд ілюструють крив'ий простір таким міркуванням.
Кожен бачив на кіноекрані людей, що рухаються. Це двовимірні люди, бо їхні розміри визначаються лише довжиною й шириною; третього ж виміру, який є в справжніх людей, у них немає. Припустімо тепер, що ці двовимірні люди, які рухаються на екрані, справді існують: вони ходять на екрані, думають і вивчають усе навколишнє. Простір, де живуть ці люди, — двовимірний екран, поза яким вони жодним чином не можуть здійснювати спостережень. Люди двовимірного екрана не можуть уявити собі тривимірний світ. Ці люди знають, що таке криві лінії? — такі лінії на екрані є, але вони не можуть уявити викривленої поверхні. Здійснюючи вимірювання різних геометричних образів, вони будуть переконані, що у світі діють саме такі геометричні закони, які становлять предмет планіметрії. Іншими словами, їхній простір буде двовимірним евклідовим простором.
Нехай екран буде виготовлений з еластичного матеріалу, так що ми можемо його розтягувати, перетворюючи з площини на криву поверхню. Уявні люди на екрані такої деформації безпосередньо не помітять, але різні їхні вимірювання покажуть, що закони геометрії для них уже не будуть законами звичайної планіметрії. Так, наприклад, сума внутрішніх кутів трикутника буде більшою за 180°. Двовимірні люди можуть з повним правом стверджувати, що їхній світ більше не евклідів, бо тіла, які в ньому перебувають, мають інші? властивості, ніж образи евклідової геометрії.
Якщо екран, на якому живуть наші уявні люди, буде дуже великий, то може статися, що кривизна невеликої ділянки екрана практично не буде помітна (так, наприклад, ми не вважаємо викривленою невелику ділянку земної поверхні). Двовимірні люди протягом тривалого часу будуть переконані, що їхній світ плоский. Лише в міру вивчення надзвичайно великих ділянок «екрана» вони зможуть пересвідчитися, що їхній світ усе-таки викривлений. Однак ця кривизна така мала, що при вивченні невеликих шматочків екрана вона залишиться непоміченою.
Наше становище вельми схоже на те, в якому перебувають люди екрана. Різниця лише в тому, що ми самі й наш простір не двовимірні, а тривимірні. Як двовимірні люди не могли наочно уявити кривизну свого простору, так не можемо цього зробити й ми. Кривизна простору виражається лише в тому, що побудовані в ньому геометричні фігури потрібно розраховувати за законами неевклідової геометрії, оскільки звичайна евклідова геометрія дає результати, які не узгоджуються з дійсністю.
Рис. 51. Частина поверхні з від'ємною кривизною. Сума внутрішніх кутів трикутника, накресленого на такій поверхні, менша за 180°
Криві поверхні можна характеризувати їхньою кривизною. Математики показали, що можна користуватися також і поняттям кривизни простору. Якщо кривизна простору дорівнює нулю, то ми маємо справу з простором, у якому справедливі теореми евклідової геометрії. У цьому разі кажуть, що ми маємо справу з плоским простором. Викривлені простори поділяють на дві групи: простори з додатною й простори з від'ємною кривизною (рис. 51). Кожен із них має свої особливості.
Зі шкільного курсу геометрії ми знаємо, наприклад, аксіому: через точку A, що не лежить на прямій s, можна провести одну й тільки одну пряму, яка, перебуваючи в одній площині з прямою s, не перетинає її (рис. 52). Для простору з від'ємною кривизною існує зовсім інша аксіома: через точку A, розташовану поза прямою s, можна провести щонайменше дві прямі, які лежать в одній площині з прямою s, але не перетинають останньої (услід за тим можна вже довести, що насправді таких прямих буде безліч). Це означає, що в просторі з від'ємною кривизною через A можна провести безліч прямих, паралельних прямій s. Цікаво зазначити, що Я. Бойаї, виходячи саме з цієї, так званої аксіоми про паралельні прямі, побудував свою неевклідову геометрію (міркування в теорії Лобачевського були аналогічними).
Рис. 52. Геометрія простору нульової кривизни. Через задану точку A можна провести відносно прямої s лише одну паралельну пряму
Аксіому Евкліда практично перевірити неможливо: адже ми не можемо простежити нескінченні прямі на всьому їхньому протязі. Бойаї зробив припущення, що через точку A проходять щонайменше дві різні прямі, обидві паралельні даній прямій, і сподівався, що це приведе його до суперечностей у геометричних міркуваннях. Тоді евклідова аксіома була б доведена (і тим самим перетворилася б уже на теорему). Але результат вийшов цілком несподіваним. Бойаї доводив одну теорему за другою і ніде не зустрічав суперечності. І тоді він зрозумів, що доведені теореми утворюють нову, позбавлену внутрішніх суперечностей геометричну систему, яка відрізняється від евклідової геометрії. Так виникла геометрія простору з від'ємною кривизною.
Аналогічно може бути побудована й геометрія простору з додатною кривизною. Для цього розглянуту аксіому потрібно замінити такою: кожна пряма, розташована в одній площині з прямою s, перетинає останню. Це означає, що через точку A не можна провести жодної прямої, паралельної S.
У принципі нескладно перевірити, чи має світовий простір додатну або від'ємну кривизну, чи він плоский. Для цього потрібно врахувати, що промінь світла в порожньому просторі поширюється завжди по прямій. Спостерігачі, які захотіли б визначити геометрію світового простору, в принципі повинні були б діяти таким чином.
Один спостерігач посилає світловий промінь. Услід за ним другий спостерігач також посилає світловий промінь в тій самій площині, намагаючись спрямувати його паралельно до першого променя. Якщо виявиться, що це взагалі неможливо, тобто якщо другий промінь завжди перетинатиме перший, то це означатиме, що світовий простір має додатну кривизну. Якщо другому спостерігачеві вдасться послати паралельні промені, то це означатиме, що світовий простір евклідів, тобто його кривизна дорівнює нулю. І, нарешті, якщо другий спостерігач може послати промені, які перебуватимуть у тій самій площині, що й промінь першого спостерігача, але не перетинатимуть цього променя, це означатиме, що кривизна світового простору від'ємна.
Таку перевірку, звичайно, практично здійснити не можна; потрібно використовувати інші, непрямі методи. Пізніше ми побачимо, що загальна теорія відносності узгоджується з деякими спостереженнями. Тому твердження теорії про те, що світовий простір у всякому разі має бути кривим, можна вважати побічно підтвердженим. Але ми поки що не можемо сказати нічого про те, додатна чи від'ємна кривизна світового простору.
У деяких читачів може виникнути сумнів, чи варто вчити шкільну геометрію, коли в реальному світі діють інші закони. Тут необхідно розрізняти принципову сторону питання від практичної. У принципі навколишній простір викривлений, проте ця кривизна настільки мала, що практично в повсякденному житті її зовсім не доводиться враховувати. У повсякденних вимірюваннях цілком можна користуватися законами евклідової геометрії. Неевклідовий характер простору виявляється лише при вимірюваннях фігур космічних масштабів.
Ми весь час говорили тільки про простір, а насправді загальна теорія відносності вивчає час і простір як єдине ціле. Як і? в спеціальній теорії відносності, простір і час утворюють чотиривимірний простір-час. При цьому виявляється, що присутність мас робить цей чотиривимірний світ викривленим. Викривленість простору-часу — це виражений мовою геометрії фізичний факт, який означає, зокрема, що гравітаційне поле, існуюче в просторі, змінює як швидкість перебігу часу, так і просторові відстані.
Наведене міркування вельми наближене, але, попри це, воно вказує на факт непридатності евклідової геометрії в неінерціальних системах. З іншого боку, в попередніх параграфах ми бачили», що неінерціальність системи відліку виявляється у вигляді сили, яку ми в невеликій ділянці простору й упродовж короткого проміжку часу? не можемо відрізнити від сили тяжіння. Замість того щоб говорити про неінерціальну систему відліку, ми можемо говорити про інерціальну систему, в якій діє сила тяжіння. Звідси випливає, що існування в просторі гравітаційного поля зумовлює неевклідовість простору. Чим сильніше гравітаційне поле в розглядуваній ділянці простору, тим більше геометрія цієї ділянки відрізняється від евклідової.
У світовому просторі є гравітаційне поле, отже, він не буде евклідовим. Простір із геометрією, що відрізняється від евклідової, називається «викривленим простором». Реальний світовий простір викривлений. Як ми маємо розуміти цей вислів?
У своїй книзі «Еволюція фізики» А. Ейнштейн і Л. Інфельд ілюструють крив'ий простір таким міркуванням.
Кожен бачив на кіноекрані людей, що рухаються. Це двовимірні люди, бо їхні розміри визначаються лише довжиною й шириною; третього ж виміру, який є в справжніх людей, у них немає. Припустімо тепер, що ці двовимірні люди, які рухаються на екрані, справді існують: вони ходять на екрані, думають і вивчають усе навколишнє. Простір, де живуть ці люди, — двовимірний екран, поза яким вони жодним чином не можуть здійснювати спостережень. Люди двовимірного екрана не можуть уявити собі тривимірний світ. Ці люди знають, що таке криві лінії? — такі лінії на екрані є, але вони не можуть уявити викривленої поверхні. Здійснюючи вимірювання різних геометричних образів, вони будуть переконані, що у світі діють саме такі геометричні закони, які становлять предмет планіметрії. Іншими словами, їхній простір буде двовимірним евклідовим простором.
Нехай екран буде виготовлений з еластичного матеріалу, так що ми можемо його розтягувати, перетворюючи з площини на криву поверхню. Уявні люди на екрані такої деформації безпосередньо не помітять, але різні їхні вимірювання покажуть, що закони геометрії для них уже не будуть законами звичайної планіметрії. Так, наприклад, сума внутрішніх кутів трикутника буде більшою за 180°. Двовимірні люди можуть з повним правом стверджувати, що їхній світ більше не евклідів, бо тіла, які в ньому перебувають, мають інші? властивості, ніж образи евклідової геометрії.
Якщо екран, на якому живуть наші уявні люди, буде дуже великий, то може статися, що кривизна невеликої ділянки екрана практично не буде помітна (так, наприклад, ми не вважаємо викривленою невелику ділянку земної поверхні). Двовимірні люди протягом тривалого часу будуть переконані, що їхній світ плоский. Лише в міру вивчення надзвичайно великих ділянок «екрана» вони зможуть пересвідчитися, що їхній світ усе-таки викривлений. Однак ця кривизна така мала, що при вивченні невеликих шматочків екрана вона залишиться непоміченою.
Наше становище вельми схоже на те, в якому перебувають люди екрана. Різниця лише в тому, що ми самі й наш простір не двовимірні, а тривимірні. Як двовимірні люди не могли наочно уявити кривизну свого простору, так не можемо цього зробити й ми. Кривизна простору виражається лише в тому, що побудовані в ньому геометричні фігури потрібно розраховувати за законами неевклідової геометрії, оскільки звичайна евклідова геометрія дає результати, які не узгоджуються з дійсністю.
Рис. 51. Частина поверхні з від'ємною кривизною. Сума внутрішніх кутів трикутника, накресленого на такій поверхні, менша за 180°Криві поверхні можна характеризувати їхньою кривизною. Математики показали, що можна користуватися також і поняттям кривизни простору. Якщо кривизна простору дорівнює нулю, то ми маємо справу з простором, у якому справедливі теореми евклідової геометрії. У цьому разі кажуть, що ми маємо справу з плоским простором. Викривлені простори поділяють на дві групи: простори з додатною й простори з від'ємною кривизною (рис. 51). Кожен із них має свої особливості.
Зі шкільного курсу геометрії ми знаємо, наприклад, аксіому: через точку A, що не лежить на прямій s, можна провести одну й тільки одну пряму, яка, перебуваючи в одній площині з прямою s, не перетинає її (рис. 52). Для простору з від'ємною кривизною існує зовсім інша аксіома: через точку A, розташовану поза прямою s, можна провести щонайменше дві прямі, які лежать в одній площині з прямою s, але не перетинають останньої (услід за тим можна вже довести, що насправді таких прямих буде безліч). Це означає, що в просторі з від'ємною кривизною через A можна провести безліч прямих, паралельних прямій s. Цікаво зазначити, що Я. Бойаї, виходячи саме з цієї, так званої аксіоми про паралельні прямі, побудував свою неевклідову геометрію (міркування в теорії Лобачевського були аналогічними).
Рис. 52. Геометрія простору нульової кривизни. Через задану точку A можна провести відносно прямої s лише одну паралельну прямуАксіому Евкліда практично перевірити неможливо: адже ми не можемо простежити нескінченні прямі на всьому їхньому протязі. Бойаї зробив припущення, що через точку A проходять щонайменше дві різні прямі, обидві паралельні даній прямій, і сподівався, що це приведе його до суперечностей у геометричних міркуваннях. Тоді евклідова аксіома була б доведена (і тим самим перетворилася б уже на теорему). Але результат вийшов цілком несподіваним. Бойаї доводив одну теорему за другою і ніде не зустрічав суперечності. І тоді він зрозумів, що доведені теореми утворюють нову, позбавлену внутрішніх суперечностей геометричну систему, яка відрізняється від евклідової геометрії. Так виникла геометрія простору з від'ємною кривизною.
Аналогічно може бути побудована й геометрія простору з додатною кривизною. Для цього розглянуту аксіому потрібно замінити такою: кожна пряма, розташована в одній площині з прямою s, перетинає останню. Це означає, що через точку A не можна провести жодної прямої, паралельної S.
У принципі нескладно перевірити, чи має світовий простір додатну або від'ємну кривизну, чи він плоский. Для цього потрібно врахувати, що промінь світла в порожньому просторі поширюється завжди по прямій. Спостерігачі, які захотіли б визначити геометрію світового простору, в принципі повинні були б діяти таким чином.
Один спостерігач посилає світловий промінь. Услід за ним другий спостерігач також посилає світловий промінь в тій самій площині, намагаючись спрямувати його паралельно до першого променя. Якщо виявиться, що це взагалі неможливо, тобто якщо другий промінь завжди перетинатиме перший, то це означатиме, що світовий простір має додатну кривизну. Якщо другому спостерігачеві вдасться послати паралельні промені, то це означатиме, що світовий простір евклідів, тобто його кривизна дорівнює нулю. І, нарешті, якщо другий спостерігач може послати промені, які перебуватимуть у тій самій площині, що й промінь першого спостерігача, але не перетинатимуть цього променя, це означатиме, що кривизна світового простору від'ємна.
Таку перевірку, звичайно, практично здійснити не можна; потрібно використовувати інші, непрямі методи. Пізніше ми побачимо, що загальна теорія відносності узгоджується з деякими спостереженнями. Тому твердження теорії про те, що світовий простір у всякому разі має бути кривим, можна вважати побічно підтвердженим. Але ми поки що не можемо сказати нічого про те, додатна чи від'ємна кривизна світового простору.
У деяких читачів може виникнути сумнів, чи варто вчити шкільну геометрію, коли в реальному світі діють інші закони. Тут необхідно розрізняти принципову сторону питання від практичної. У принципі навколишній простір викривлений, проте ця кривизна настільки мала, що практично в повсякденному житті її зовсім не доводиться враховувати. У повсякденних вимірюваннях цілком можна користуватися законами евклідової геометрії. Неевклідовий характер простору виявляється лише при вимірюваннях фігур космічних масштабів.
Ми весь час говорили тільки про простір, а насправді загальна теорія відносності вивчає час і простір як єдине ціле. Як і? в спеціальній теорії відносності, простір і час утворюють чотиривимірний простір-час. При цьому виявляється, що присутність мас робить цей чотиривимірний світ викривленим. Викривленість простору-часу — це виражений мовою геометрії фізичний факт, який означає, зокрема, що гравітаційне поле, існуюче в просторі, змінює як швидкість перебігу часу, так і просторові відстані.